2022年高中數(shù)學 隨機變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機分布3完整講義（學生版）

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1、 2022年高中數(shù)學 隨機變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機分布3完整講義（學生版） 知識內容 1． 離散型隨機變量及其分布列 ⑴離散型隨機變量 如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗的結果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母表示． 如果隨機變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機變量． ⑵離散型隨機變量的分布列 將離散型隨機變量所有可能的取值與該取值對應的概率列表表示： … … … … 我們稱這個表為離散型隨機變量的概率分布，或稱為離

2、散型隨機變量的分布列． 2．幾類典型的隨機分布 ⑴兩點分布 如果隨機變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的二點分布． 二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結果，則的分布列滿足二點分布． 兩點分布又稱分布，由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為 ，為和中較小

3、的一個． 我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列． ⑶二項分布 1．獨立重復試驗 如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復地做次試驗，各次試驗的結果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)榇为毩⒅貜驮囼灒为毩⒅貜驮囼炛?，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … …

4、 … 由于表中的第二行恰好是二項展開式 各對應項的值，所以稱這樣的散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布， 記作． 二項分布的均值與方差： 若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且

5、每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學期望和標準差．期望為、標準差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標準正態(tài)分布：我們把數(shù)學期望為，標準差為的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布． ⑶重要結論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標準

6、差之內，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標準正態(tài)分布函數(shù)． ． 標準正態(tài)分布的值可以通過標準正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標不作要求，適當了解以加深對密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機變量的期望與方差 1．離散型隨機變量的數(shù)學期望 定義：一般地，設一個離散型隨機變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對應的概率是，，…，，則，叫做這個離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望（簡稱期望）． 離散型隨機變量的數(shù)學期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平． 2．離散型隨機變量的方差 一般地，設一個離散型隨機變量所有可能取的值是，，…，

7、，這些值對應的概率是，，…，，則叫做這個離散型隨機變量的方差． 離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大?。x散程度）． 的算術平方根叫做離散型隨機變量的標準差，它也是一個衡量離散型隨機變量波動大小的量． 3．為隨機變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為，在次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為． ⑵二項分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨立性 如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的

8、概率沒有影響，即， 這時，我們稱兩個事件，相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件． 如果事件，，…，相互獨立，那么這個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 二項分布的概率計算 【例1】 已知隨機變量服從二項分布，，則等于 ． 【例2】 甲乙兩人進行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結束，假定甲每局比賽

9、獲勝的概率均為，則甲以的比分獲勝的概率為（ ） A． B． C． D． 【例3】 某籃球運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率 ．（用數(shù)值表示） 【例4】 某人參加一次考試，道題中解對道則為及格，已知他的解題正確率為， 則他能及格的概率為_________（保留到小數(shù)點后兩位小數(shù)） 【例5】 接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為 ．（精確到） 【例6】 從一批由9件正品，3件次品

10、組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到兩次次品的概率（結果保留位有效數(shù)字）． 【例7】 一臺型號的自動機床在一小時內不需要人照看的概為，有四臺這種型號的自動機床各自獨立工作，則在一小時內至多有臺機床需要工人照看的概率是（ ） A． B． C． D． 【例8】 設在4次獨立重復試驗中，事件發(fā)生的概率相同，若已知事件至少發(fā)生一次的概率等于，求事件在一次試驗中發(fā)生的概率． 【例9】 我艦用魚雷打擊來犯的敵艦，至少有枚魚雷擊中敵艦時，敵艦才被擊沉

11、．如果每枚魚雷的命中率都是，當我艦上的個魚雷發(fā)射器同是向敵艦各發(fā)射枚魚雷后，求敵艦被擊沉的概率（結果保留位有效數(shù)字）． 【例10】 某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中的任意連續(xù)取出2件，求次品數(shù)的概率分布列及至少有一件次品的概率． 【例11】 某公司擬資助三位大學生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請兩位專家，獨立地對每位大學生的創(chuàng)業(yè)方案進行評審．假設評審結果為“支持”或“不支持”的概率都是．若某人獲得兩個“支持”，則給予萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個“支持”，則給予萬元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助．求：

12、⑴ 該公司的資助總額為零的概率； ⑵ 該公司的資助總額超過萬元的概率． 【例12】 某商場經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買．根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用一次性付款的概率是，經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場獲得利潤元；若顧客采用分期付款，商場獲得利潤元． ⑴ 求位購買該商品的顧客中至少有位采用一次性付款的概率； ⑵ 求位位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過元的概率． 【例13】 某萬國家具城進行促銷活動，促銷方案是：顧客每消費元，便可獲得獎券一張，每張獎券中獎的概率為，若中獎，則家具城返還顧客現(xiàn)金元．某顧客

13、消費了元，得到3張獎券． ⑴求家具城恰好返還該顧客現(xiàn)金元的概率； ⑵求家具城至少返還該顧客現(xiàn)金元的概率． 【例14】 某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中： ⑴至少有1株成活的概率； ⑵兩種大樹各成活1株的概率． 【例15】 一個口袋中裝有個紅球（且）和個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎． ⑴試用表示一次摸獎中獎的概率； ⑵若，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率； ⑶記三次摸獎（每次摸獎后放

14、回）恰有一次中獎的概率為．當取多少時，最大？ 【例16】 袋子和中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是，從中摸出一個紅球的概率為． ⑴從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止． ①求恰好摸5次停止的概率； ②記5次之內（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布． ⑵若兩個袋子中的球數(shù)之比為，將中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求的值． 【例17】 設飛機有兩個發(fā)動機，飛機有四個發(fā)動機，如有半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動機沒有故障，就能夠安全飛行，現(xiàn)設各個發(fā)動機發(fā)生故障的概率是的函數(shù)，其中為發(fā)

15、動機啟動后所經(jīng)歷的時間，為正的常數(shù)，試討論飛機與飛機哪一個安全？（這里不考慮其它故障）． 【例18】 假設飛機的每一臺發(fā)動機在飛行中的故障率都是，且各發(fā)動機互不影響．如果至少的發(fā)動機能正常運行，飛機就可以順利地飛行．問對于多大的而言，四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機更安全？ 【例19】 一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是． ⑴設為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列； ⑵設為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列； ⑶求這名學生在途中至少遇

16、到一次紅燈的概率． 【例20】 一個質地不均勻的硬幣拋擲次，正面向上恰為次的可能性不為，而且與正面向上恰為次的概率相同．令既約分數(shù)為硬幣在次拋擲中有次正面向上的概率，求． 【例21】 某氣象站天氣預報的準確率為，計算（結果保留到小數(shù)點后面第2位） ⑴5次預報中恰有次準確的概率； ⑵次預報中至少有次準確的概率； ⑶5次預報中恰有次準確，且其中第次預報準確的概率； 【例22】 某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第層可以?？浚粼撾娞菰诘讓虞d有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯

17、的概率均為，求至少有兩位乘客在20層下的概率． 【例23】 10個球中有一個紅球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第次才取得次紅球的概率． 【例24】 某車間為保證設備正常工作，要配備適量的維修工．設各臺設備發(fā)生的故障是相互獨立的，且每臺設備發(fā)生故障的概率都是．試求： ⑴若由一個人負責維修20臺，求設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率； ⑵若由3個人共同負責維修80臺設備，求設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率，并進行比較說明哪種效率高． 【例25】 是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗．每個試驗組

18、由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組．設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為．觀察3個試驗組，求至少有1個甲類組的概率．（結果保留四位有效數(shù)字） 【例26】 已知甲投籃的命中率是，乙投籃的命中率是，兩人每次投籃都不受影響，求投籃3次甲勝乙的概率．（保留兩位有效數(shù)字） 【例27】 若甲、乙投籃的命中率都是，求投籃次甲勝乙的概率．（） 【例28】 省工商局于某年

19、3月份，對全省流通領域的飲料進行了質量監(jiān)督抽查，結果顯示，某種剛進入市場的飲料的合格率為，現(xiàn)有甲，乙，丙人聚會，選用瓶飲料，并限定每人喝瓶，求： ⑴甲喝瓶合格的飲料的概率； ⑵甲，乙，丙人中只有人喝瓶不合格的飲料的概率（精確到）． 【例29】 在一次考試中出了六道是非題，正確的記“√”號，不正確的記“×”號．若某考生隨手記上六個符號，試求：⑴全部是正確的概率； ⑵正確解答不少于4道的概率； ⑶至少答對道題的概率． 【例30】 某大學的校乒乓球隊與數(shù)學系乒乓球隊舉行對抗賽，校隊的實力比系隊強，當一個校隊隊員與系隊隊員比賽時，校隊隊員獲勝

20、的概率為． 現(xiàn)在校、系雙方商量對抗賽的方式，提出了三種方案：⑴雙方各出人；⑵雙方各出人；⑶雙方各出人．三種方案中場次比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利．問：對系隊來說，哪一種方案最有利？ 二項分布的期望與方差 【例31】 已知，求與． 【例32】 已知，，，則與的值分別為（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例33】 已知隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，則它的期望 ， 方差 ． 【例34】 已知隨機變量服從二項分布，且，，則二項分布的參數(shù)，的值分別為 ， ．

21、 【例35】 一盒子內裝有個乒乓球，其中個舊的，個新的，每次取一球，取后放回，取次，則取到新球的個數(shù)的期望值是 ． 【例36】 同時拋擲枚均勻硬幣次，設枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學期望是（ ） A． B． C． D． 【例37】 某服務部門有個服務對象，每個服務對象是否需要服務是獨立的，若每個服務對象一天中需要服務的可能性是，則該部門一天中平均需要服務的對象個數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【例38】 一個袋子里裝有大小

22、相同的個紅球和個黃球，從中同時取出個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是_________．（用數(shù)字作答） 【例39】 同時拋擲枚均勻硬幣次，設枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學期望是（ ） A． B． C． D． 【例40】 某批數(shù)量較大的商品的次品率是，從中任意地連續(xù)取出件，為所含次品的個數(shù)，求． 【例41】 甲、乙、丙人投籃，投進的概率分別是． ⑴ 現(xiàn)3人各投籃1次，求3人都沒有投進的概率； ⑵ 用表示乙投籃3次的進球數(shù)，求隨機變量的概率分布及數(shù)學期望．

23、 【例42】 拋擲兩個骰子，當至少有一個點或點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功． ⑴ 求一次試驗中成功的概率； ⑵ 求在次試驗中成功次數(shù)的分布列及的數(shù)學期望與方差． 【例43】 某尋呼臺共有客戶人，若尋呼臺準備了份小禮品，邀請客戶在指定時間來領取．假設任一客戶去領獎的概率為．問：尋呼臺能否向每一位顧客都發(fā)出獎邀請？若能使每一位領獎人都得到禮品，尋呼臺至少應準備多少禮品？ 【例44】 某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有，參加過計算機

24、培訓的有，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響． ⑴任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率； ⑵任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓的人數(shù)，求的分布和期望． 【例45】 設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．記表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布及期望． 【例46】 某班級有人，設一年天中，恰有班上的（）個人過生日的天數(shù)為，求的期望值以及至少有兩人過生日的天數(shù)的期望值．

25、 【例47】 購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內出險，則可以獲得元的賠償金．假定在一年度內有人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內至少支付賠償金元的概率為． ⑴求一投保人在一年度內出險的概率； ⑵設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為元，為保證盈利的期望不小于，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）． 【例48】 某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查（簡稱安檢）．若安檢不合格，則必須進行整改．若整改后復查仍不合格，則強行

26、關閉．設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是，整改后安檢合格的概率是，計算（結果精確到）． ⑴恰好有兩家煤礦必須整改的概率； ⑵平均有多少家煤礦必須整改； ⑶至少關閉一家煤礦的概率． 【例49】 設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率為，機器發(fā)生故障時全天停止工作．若一周5個工作日里均無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元．求一周內期望利潤是多少？（精確到） 【例50】 在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中，武警官兵準備

27、用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐．已知只有發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是． ⑴求油罐被引爆的概率； ⑵如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數(shù)為，求的分布列及． 【例51】 某商場準備在國慶節(jié)期間舉行促銷活動，根據(jù)市場調查，該商場決定從種服裝商品，種家電商品，種日用商品中，選出種商品進行促銷活動． ⑴試求選出的種商品中至少有一種是日用商品的概率； ⑵商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現(xiàn)價的基礎上將價格提高元，同時，若顧客購買該商品，則允許有次抽獎的

28、機會，若中獎，則每次中獎都獲得數(shù)額為的獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是，請問：商場應將每次中獎獎金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利? 【例52】 將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落的過程中，將次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是． ⑴ 求小球落入袋中的概率； ⑵ 在容器入口處依次放入個小球，記為落入袋中的小球個數(shù)，試求的概率和的數(shù)學期望． 【例53】 一個袋中有大小相同的標有1，2，3，4，5，6的6個小球，某人

29、做如下游戲，每次從袋中拿一個球（拿后放回），記下標號．若拿出球的標號是3的倍數(shù)，則得1分，否則得分． ⑴ 求拿4次至少得2分的概率； ⑵ 求拿4次所得分數(shù)的分布列和數(shù)學期望． 【例54】 某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位的二進制數(shù)，其中的各位數(shù)中，，出現(xiàn)的概率為，出現(xiàn)的概率為．記，當程序運行一次時， ⑴ 求的概率； ⑵ 求的概率分布和期望． 【例55】 某學生在上學路上要經(jīng)過個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2 min． ⑴ 求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率； ⑵ 求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望．