2022年高三數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用章末練習練習

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1、2022年高三數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用章末練習練習 一、選擇題(6×5分＝30分) 1．已知函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則關于函數(shù)y＝f(x)，下列說法正確的是(　　) A．在x＝1處取極大值 B．在區(qū)間[－1,4]上是增函數(shù) C．在x＝4處取極小值 D．在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù) 解析：由導函數(shù)的圖象知，x＝－1是極小值點，x＝4是極大值點，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，－1]和[4，＋∞)上是減函數(shù)，在[－1,4]上是增函數(shù)． 答案：B 2．(xx·廣東廣州)設f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在區(qū)間[1,3]上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取

2、值范圍為(　　) A．[－，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，－3] C．(－∞，－3]∪[－，＋∞) D．[－，] 解析：f′(x)＝x2＋2ax＋5，當f(x)在[1,3]上單調(diào)減時，由得a≤－3； 當f(x)在[1,3]上單調(diào)增時，f′(x)＝0中， Δ＝4a2－4×5≤0，或 得a∈[－，]∪(，＋∞)． 綜上：a的取值范圍為(－∞，－3]∪[－，＋∞)，故選C. 答案：C 3．(xx·江蘇無錫)若a>2，則方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有(　　) A．0個根 B．1個根 C．2個根 D．3個根 解析：設f(x)＝x3－ax2＋1，則f′(x)＝

3、x2－2ax＝x(x－2a)，當x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，又f(0)f(2)＝1×(－4a＋1)＝－4a<0，f(x)＝0在(0,2)上恰好有1個根，故選B. 答案：B 4．(xx·東北十校聯(lián)考)設f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1處均有極值，則下列點中一定在x軸上的是(　　) A．(a，b) B．(a，c) C．(b，c) D．(a＋b，c) 解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由題意知1、－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的兩根，1－1＝－，b＝0，故選A. 答案：A 二、填空題(3×5分＝15分)

4、5．(xx·江蘇無錫)設P為曲線C：y＝x2－x＋1上一點，曲線C在點P處的切線的斜率的范圍是[－1,3]，則點P縱坐標的取值范圍是________． 解析：y′＝2x－1，∴－1≤2x－1≤3?0≤x≤2， y＝x2－x＋1＝(x－)2＋∈[，3]． 答案：[，3] 6．已知f(x)＝x·e－x，x∈[－2,2]的最大值為M，最小值為m，則M－m＝________. 解析：由f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)＝0， 得x＝1，f(1)＝，f(2)＝，f(－2)＝－2e2， ∴M＝，m＝－2e2，∴M－m＝2e2＋. 答案：2e2＋ 7．(理)已知函數(shù)f(x)＝

5、3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝________. 解析：－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－11＝4， 所以2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋2a－1＝0， 解得a＝－1或a＝. 答案：－1或 (文)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a，b的值分別是a＝________，b＝________. 解析：由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 根據(jù)已知條件即 解得或(經(jīng)檢驗應舍去) 答案：4?。?1 8．(xx·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：y＝x3

6、－10x＋3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為________． 解析：∵y＝x3－10x＋3，∴y′＝3x2－10. 由題意，設切點P的橫坐標為x0，且x0<0， 即3x02－10＝2，∴x02＝4， ∴x0＝－2，∴y0＝x03－10x0＋3＝15. 故點P的坐標為(－2,15)． 答案：(－2,15) 9．(xx·福建高考)若曲線f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y軸的切線， ∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解， ∴3a＝－

7、，而x>0，∴a∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 三、解答題(共37分) 10．(12分)(xx·陜西高考)已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍． 解析：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 當a<0時，對x∈R有f′(x)>0. ∴a<0時， f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)． 當a>0時，由f′(x)>0解得x<－或x>； 由f′(x)<0解得－0時， f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(

8、，＋∞)； f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－，)． (2)∵f(x)在x＝－1處取得極值， ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3， 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1， 由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3. 直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1， 結合如圖示f(x)的圖象可知： m的取值范圍是(－3,1)． 11．(12分)(xx·課標全國)設函數(shù)f(x)＝ex－1

9、－x－ax2. (1)若a＝0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍． 解析：(1)a＝0時，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1. 當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0； 當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，0)單調(diào)減少，在(0，＋∞)單調(diào)增加． (2)f′(x)＝ex－1－2ax. 由(1)知ex≥1＋x，當且僅當x＝0時等號成立． 故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x， 從而當1－2a≥0，即a≤時，f′(x)≥0(x≥0)，∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)增加． 而f(0)＝0，于是當x≥0時，f

10、(x)≥0. 由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)． 從而當a>時， f′(x)

11、a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 當x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.① 當x＝時，y＝f(x)有極值，則f′()＝0， 可得4a＋3b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝－4. 由于切點的橫坐標為x＝1， ∴f(1)＝4， ∴1＋a＋b＋c＝4， ∴c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 當x變化時，y、y′的取值及變化如下表： x －3 (－3，－2) －2 (－2，) (，1) 1 y′ ＋ 0 － 0 ＋ y 8 單調(diào)遞增  13 單調(diào)遞減  單調(diào)遞增  4 ∴f(x)的最大值為f(－2)＝13， f(x)的最小值為f()＝.