2019屆高中數(shù)學(xué) 專題1.1.1 集合的含義與表示視角透析學(xué)案 新人教A版必修1

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1、 第1課時 集合的含義與表示 【雙向目標(biāo)】 課程目標(biāo) 學(xué)科素養(yǎng) A理解集合的概念及其三要素，理解用描述法表示集合的特點(diǎn) B判斷元素與集合間的“屬于”與“不屬于”關(guān)系，利用互異性判斷元素的值 C. 能用集合語言表示一些實(shí)際生活中的集體性問題，會利用集合對實(shí)際生活的問題進(jìn)行分類 a數(shù)學(xué)抽象：數(shù)學(xué)集合概念的理解、描述法表示集合的方法 b邏輯推理：集合的互異性的辨析與應(yīng)用 c數(shù)學(xué)運(yùn)算：集合相等時的參數(shù)計算，集合的描述法轉(zhuǎn)化為列舉法時的運(yùn)算 d 直觀想象：利用數(shù)軸表示數(shù)集、集合的圖形表示 e 數(shù)學(xué)建模：用集合思想對實(shí)際生活中的對象進(jìn)行判斷與歸類 【課標(biāo)知識】 知識提煉 基

2、礎(chǔ)過關(guān) 知識1：元素與集合的概念 1.元素：一般地，我們把研究的對象稱為元素. 2.集合：把一些元素組成的總體統(tǒng)叫作集合（簡稱為集） 3.集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.集合中元素的特征：確定性、無序性、互異性。 知識2：元素與集合的關(guān)系 集合通常用大寫字母表示，如A,B,C,…,元素用小寫字母表示，如a,b,c,…,元素和集合之間的專用符號是屬于（∈）或不屬于（）, 知識3．常用數(shù)集及表示符號 自然數(shù)集（或非負(fù)整數(shù)集），記作：N； （注意：0是自然數(shù)） 正整數(shù)集，記作：N+或N*。 整數(shù)集，記作：Z； 理數(shù)集，記作：Q； 稱實(shí)數(shù)

3、集，記作：R。 知識4：集合常用的表示法有 (1) 列舉法:在大括號內(nèi)把集合的元素一一列舉出來，特點(diǎn)是適用于元素的個數(shù)較少的集合； （2）描述法：用集合元素的屬性表示集合，其一般形式是{x|x所具有的屬性}； （3）圖形法：用韋恩圖或數(shù)軸表示集合，? 如 1下列對象能組成集合的是( ) A．中央電視臺著名節(jié)目主持人 B．我市跑得快的汽車 C．上海市所有的中學(xué)生 D．香港的高樓 2.?若且 ,則??????? 3.?若一個集合中的三個元素a,b，c是△ABC的三邊長， 則此三角形一定不是（ ） A.銳角三角形 B.直角三角形 C

4、.鈍角三角形 D.等腰三角形 4.下列說法中:①集合N與集合N＋是同一個集合 ②集合N中的元素都是集合Z中的元素 ③集合Q中的元素都是集合Z中的元素 ④集合Q中的元素都是集合R中的元素 其中正確的有________． 5.已知集合A中含有兩個元素a和a2，若1∈A，則實(shí)數(shù)a的值 ． 6.已知x∈N，則方程x2＋x－2＝0的解集用列舉法可表示為________． 基礎(chǔ)過關(guān)參考答案： 2 1. 【解析】對A，“著名”無明確標(biāo)準(zhǔn)；對B，“快”的標(biāo)準(zhǔn)不確定；對D，“高”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，因而A、B、D均不能組

5、成集合．而對C，上海市的中學(xué)生是確定的，能組成集合． 【答案】C 2.【解析】 ：因?yàn)?，所以，又，所? 【答案】1 3.【解析】：根據(jù)集合中元素的互異性可知，一定不是等腰三角形． 【答案】D 【答案】{1} 【能力素養(yǎng)】 探究一 集合含義的考查 集合是由元素構(gòu)成的，因而分析集合問題，常常從元素入手。 例1．判斷下列表述是否正確，并說明理由． （1）某個班級中年齡較小的男生組成一個集合； （2）Z={全體整數(shù)}； （3）集合{1，2}與{2，1}相等； （4）集合{（1，2）}與{1，2}相等. 【分析】根據(jù)集合的有關(guān)概念進(jìn)行判斷. 【解析】

6、（1）不正確，年齡較小的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以某個班級中年齡較小的男生不能組成一個集合. （2）不正確，“{}”就包含了所有的含義，應(yīng)寫成Z={整數(shù)}. （3）正確，根據(jù)集合中元素的無序性，可知集合{1，2}與{2，1}相等. （4）不正確，集合{（1，2）}表示直角坐標(biāo)平面上的一個點(diǎn)（1，2），而{1，2}是1，2的集合，它們是不可能相等的. 【點(diǎn)評】（1）確定性是判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn). （2）判斷集合中的元素個數(shù)時，要注意相同的對象歸入同一集合時只能算作一個，即集合中的元素滿足互異性. （3）集合符號“{}”已包含“所有”的意思，因而大括號內(nèi)的文字描述不應(yīng)再用“全體”“所有

7、”“全部”或“集”等詞語. 【變式訓(xùn)練】 1.下列所給的對象能構(gòu)成集合的是 ①所有的正三角形； ②比較接近1的數(shù)的全體； ③某校高一年級所有16歲以下的學(xué)生； ④平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)的集合； ⑤所有參加2012年倫敦奧運(yùn)會的年輕運(yùn)動員； ⑥的近似值的全體. 【答案】①③④ 2.下列各組對象能組成一個集合嗎？請判斷并說明理由. （1）所有很大的實(shí)數(shù)； （2）好心的人； （3）方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解； （4）中國古代的四大發(fā)明； （5）小于18的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的正實(shí)數(shù)； （6）高一新生中數(shù)學(xué)成績較好的同學(xué)； （7）立方接近零的

8、正數(shù)； （8）2012年倫敦奧運(yùn)會的所有比賽項(xiàng)目. 【解析】一組對象能否組成集合主要看這組對象是否能確定，只要研究對象是確定的，就可以構(gòu)成集合，否則就不能組成集合. 探究二 元素與集合之間的關(guān)系的應(yīng)用 元素與集合間的關(guān)系有兩種關(guān)系即；屬于“”和不屬于“”，分析時需準(zhǔn)確把握集合中所含的元素。 例2：設(shè)集合． （1）試判斷元素1和2與集合的關(guān)系； （2）用列舉法表示集合 【分析】（1）令，，判斷是否成立，從而判斷，是否成立．（2）令分別取自然數(shù)，代入逐一確定的值，得集合． 【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，． （2）令，1，2，3，4，代入檢驗(yàn)，可得． 【點(diǎn)評】（1）判

9、斷所給元素是否屬于給定集合時，若在集合內(nèi)，則用符號“”；若不在集合內(nèi)，則用符號“”．（2）對于所給集合是常見的數(shù)集時，要注意符號的書寫規(guī)范． 【變式訓(xùn)練】 1.設(shè)集合，．若,，試判斷與A，B的關(guān)系． 【解析】∵，∴． ∵，∴． ∴． 又∵，∴． 從而． 【答案】， 2.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 【解析】因?yàn)椋?不滿足不等式，即2滿足不等式，所以，．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【答案】 探究三 元素互異性的應(yīng)用 集合中元素的互異性（即集合中的元素各不相同），它是分析集合問題的一個重要切入口。 例3：為集合的四個元素，那么以為邊長構(gòu)成的四邊形可能是（

10、 ） A．矩形 B．平行四邊形 C．菱形 D．梯形 【分析】欲判斷四邊形的形狀，需判斷四邊形的四條邊之間的關(guān)系． 【解析】由于集合中的元素具有“互異性”，故四個元素互不相同，即組成四邊形的四條邊互不相等． 【答案】D 【點(diǎn)評】解答本題應(yīng)抓住集合的元素具有“互異性”這一特征，由互異轉(zhuǎn)化為四邊形的四條邊互不相等． 【變式訓(xùn)練】 1．給出下列說法，其中正確的個數(shù)為（ ） （1）由1，，，，這些數(shù)組成的集合有5個元素； （2）方程的解組成的集合有3個元素； （3）由一條邊為2，一個內(nèi)角為的等腰三角形組成的集合中含有4個元素； （

11、4）由，，組成的三元素集合中含有，則的值是0或． A．1 B． 2 C．3 D． 4 合中有4個元素． （4）不正確．當(dāng)時，三個數(shù)分別為，0，，組成的集合中只有兩個元素，不合題意；當(dāng)時，三個數(shù)分別為，，，符合題意，即只能?。? 【答案】A 2．含有兩個元素的集合A可以表示為，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【解析】根據(jù)題意可知，由集合中元素的互異性，可得，所以．即實(shí)數(shù) 的取值范圍為． 【答案】 探究四 集合的表示方法 集合作為一種數(shù)學(xué)語言，需要對它的三種表示方法充分熟悉，特別是描述法應(yīng)能準(zhǔn)確解讀。 例4：用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? （1）

12、方程組的解集； （2）1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)組成的集合； （3）平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合； （4）所有的正方形組成的集合． 【分析】 【點(diǎn)評】所謂適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?，就是較簡單、較明了的表示方法，用描述法表示集合時，若需要多層次描述屬性，可選用“且”與“或”等詞連接；若描述部分出現(xiàn)代表元素以外的字母，要說明新字母的含義或指出其取值范圍． 【變式訓(xùn)練】 1．判斷：（正確的打“√”，錯誤的打“×”） （1）任何一個集合都可以用列舉法表示．（ ） （2）由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為{1,1,2,3}．（ ） （3）{0,1}和{(0,1

13、)}是相同的集合．（ ） 【答案】× × × 2．用另一種方法表示下列集合： （1）{絕對值不大于2的整數(shù)}； （2）{能被3整除且小于10的正數(shù)}； （3）； （4）； （5）； （6）{自然數(shù)中六個最小數(shù)的平方}； （7）； （8）． （6）； （7）； （8）．集合為． 【課時作業(yè)】 課標(biāo) 素養(yǎng) 數(shù)學(xué) 抽象 邏輯 推理 數(shù)學(xué) 運(yùn)算 直觀 想象 數(shù)學(xué) 建模 數(shù)據(jù) 分析 A 1 1,5,7, 10,13 5 1 B 2,3,6，8 9,11,14,15 C 4

14、 12 一、選擇題 1.下列對象能構(gòu)成集合的是（ ） ①NBA聯(lián)盟中所有優(yōu)秀的籃球運(yùn)動員 ②所有的鈍角三角形 ③2005年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主 ④大于等于0的整數(shù) ⑤北京師范大學(xué)的所有聰明學(xué)生 A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④ 2.已知集合A中只有一個元素1，若|b|∈A，則b等于（ ） A．1 B．－1 C．±1 D．0 【解析】由題意可知|b|＝1，∴b＝±1. 【答案】C 3.給出下列5個關(guān)系：∈R，∈Q，0∈{0}，0∈N，π∈Q，其中正確命題的個數(shù)為（

15、 ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】∈Q，π∈Q不正確． 【答案】B 4.集合{x∈Z|－1＜x＜5}的另一種表示形式是（ ） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 【解析】集合{x∈Z|－1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}． 【答案】A 5.直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合為（ ） A．{0,1} B．{（0,1）} C．{，0}

16、 D．{（，0）} 【解析】把x＝0代入y＝2x＋1得y＝1，∴交點(diǎn)為（0,1），選B. 【答案】B 6.已知集合M中的元素a、b、c是△ABC的三邊，則△ABC一定不是（ ） A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【解析】因?yàn)榧现性鼐哂谢ギ愋?，所以a，b，c互不相等，因此選D. 【答案】D 7.集合M＝{(x，y)|xy>0，x∈R，y∈R}是指（ ） A．第一象限內(nèi)的點(diǎn)集 B．第三象限內(nèi)的點(diǎn)集 C．第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)集 D．第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集

17、【解析】∵xy>0，∴x、y同號，∴M表示第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)集，選C. 【答案】C 8.集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是（ ） A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B 【答案】C 9.已知集合，則集合中元素的個數(shù)是（ ） A．1 B．3 C．5 D．9 【解析】用列舉法把集合中的元素一一列舉出來． 根據(jù)集

18、合中元素的互異性知，中元素有0，-1，-2，1，2，共5個. 【答案】C 二、填空題 10.已知1∈{m，m2},則實(shí)數(shù)m= . 【解析】當(dāng)m=1時，m2=1，與元素的互異性矛盾；當(dāng)m2=1時，m=-1或m=1（舍）. 【答案】-1 11.設(shè)－5∈{x|x2－ax－5＝0}，則集合{x|x2＋ax＋3＝0}中所有元素之和為 ． 【答案】4 12.集合可用列舉法表示為 ． 【解析】首先依據(jù)題意確定的值，則對分類討論． 由，得， 則有，，，，． 故用列舉法表示為． 【答案】 13.若集合A中有三個元素，x，x＋1,1，集合

19、B中也有三個元素x，x＋x2，x2，且A＝B，則實(shí)數(shù)x的值為________． 【解析】∵A＝B， ∴1＝x2＋x(x＋1＝x2，)或1＝x2.(x＋1＝x2＋x，) 解得x＝±1.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1不適合集合元素的互異性，而x＝－1適合． ∴x＝－1. 【答案】－1 14.若集合A中含有三個元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a的值為________． 【解析】(1)若a－3＝－3，則a＝0，此時A＝{－3，－1，－4}，滿足題意． (2)若2a－1＝－3，則a＝－1，此時A＝{－4，－3，－3}，不滿足元素的互異性． (3)若a2－4＝－3，則a＝±1.當(dāng)a＝1時，A＝{－2,1，－3}，滿足題意；當(dāng)a＝－1時， 由(2)知不合題意． 綜上可知：a＝0或a＝1. 【答案】0或1 三、解答題 15.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}， (1)若1∈A，求a的值； (2)若A為單元素集合，求a的值； (3)若A為雙元素集合，求a的范圍．