《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第4講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第4講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、一 數(shù)學(xué)歸納法
學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍.(重點(diǎn))2.會利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
教材整理 數(shù)學(xué)歸納法的概念
閱讀教材P46~P50,完成下列問題.
一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:
(1)證明當(dāng)n=n0時命題成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,且k≥n0)時命題成立,證明_n=k+1時命題也成立.
在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.
數(shù)學(xué)歸納法證明中,在驗(yàn)證了n=1時命題正確,假定n=k時命題正確,此時
2、k的取值范圍是( )
A.k∈N B.k>1,k∈N+
C.k≥1,k∈N+ D.k>2,k∈N+
C [數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法,所以k是正整數(shù),又第一步是遞推的基礎(chǔ),所以k大于等于1.]
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
【例1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:
1-+-+…+-=++…+.
[精彩點(diǎn)撥] 要證等式的左邊共2n項(xiàng),右邊共n項(xiàng),f(k)與f(k+1)相比左邊增二項(xiàng),右邊增一項(xiàng),而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同.因此,由“n=k”到“n=k+1”時要注意項(xiàng)的合并.
[自主解答]?、佼?dāng)n=1時,左邊=1-===右邊,所以等式成立.
②假設(shè)n=k(k≥1
3、,k∈N+)時等式成立,即
1-+-+…+-=++…+,則當(dāng)n=k+1時,
左邊=1-+-+…+-+-=+-
=+
=+…+++=右邊,
所以,n=k+1時等式成立.
由①②知,等式對任意n∈N+成立.
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項(xiàng),項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān).由n=k到n=k+1時,等式的兩邊會增加多少項(xiàng),增加怎樣的項(xiàng).
2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點(diǎn):一是要準(zhǔn)確表述n=n0時命題的形式,二是要準(zhǔn)確把握由n=k到n=k+1時,命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn).并且一定要記住:在證明n=k+1成立時,必須使用歸納
4、假設(shè),這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié).
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).
[證明] (1)當(dāng)n=1時,左邊=12-22=-3,
右邊=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,等式成立,就是
12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).
當(dāng)n=k+1時,
12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2
=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)
5、
=-(k+1)[2(k+1)+1],
所以n=k+1時等式也成立,
根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何n∈N+都成立.
用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題
【例2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
[精彩點(diǎn)撥] 先驗(yàn)證n=1時命題成立,然后再利用歸納假設(shè)證明,關(guān)鍵是找清f(k+1)與f(k)的關(guān)系并設(shè)法配湊.
[自主解答] (1)當(dāng)n=1時,原式=(3×1+1)×7-1=27,能被9整除,命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時,(3k+1)·7k-1能被9整除,則當(dāng)n=k+1時,
[ 3(k+1)+1]·7k+1-1
=[21(k
6、+1)+7]·7k-1
=[(3k+1)+(18k+27)]·7k-1
=[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k.
∵[(3k+1)·7k-1]和9(2k+3)·7k都能被9整除,
∴[ (3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k能被9整除,
即[3(k+1)+1]·7k+1-1能被9整除,
即當(dāng)n=k+1時命題成立.
由(1)(2)可知,對任何n∈N+,命題都成立,即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
1.證明本題時關(guān)鍵是用歸納假設(shè)式子(3k+1)·7k-1表示n=k+1時的式子.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題關(guān)鍵是利用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、并項(xiàng)、
7、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論,從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.一般地,證明一個與n有關(guān)的式子f(n)能被一個數(shù)a(或一個代數(shù)式g(n)) 整除,主要是找到f(k+1)與f(k)的關(guān)系,設(shè)法找到式子f1(k),f2(k),使得f(k+1)=f(k)·f1(k)+f2(k).
2.求證:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除.
[證明] (1)當(dāng)n=1時,13+(1+1)3+(1+2)3=36,36能被9整除,命題成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時,命題成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,
當(dāng)n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3
8、)3
=(k+1)3+(k+2)3+k3+3k2·3+3k·32+33
=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9(k2+3k+3),
由歸納假設(shè)知,上式中兩項(xiàng)都能被9整除,故n=k+1時,命題也成立.
由(1)和(2)可知,對n∈N+命題成立.
證明幾何命題
【例3】 平面內(nèi)有n(n≥2,n∈N+)條直線,其中任意兩條不平行,任意三條不過同一點(diǎn),那么這n條直線的交點(diǎn)個數(shù)f(n)是多少?并證明你的結(jié)論.
[精彩點(diǎn)撥] (1)從特殊入手,求f(2),f(3),f(4),猜想出一般性結(jié)論f(n);(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
[自主解答] 當(dāng)n=2時,f(2)=1 ;當(dāng)n=3時,
9、f(3)=3;
當(dāng)n=4時,f(4)=6.
因此猜想f(n)=(n≥2,n∈N+).
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=2時,兩條相交直線有一個交點(diǎn),
又f(2)=×2×(2-1)=1.
∴n=2時,命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N+)時命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個數(shù)為f(k)=k(k-1),
當(dāng)n=k+1時,其中一條直線記為l,剩下的k條直線為l1,l2,…,lk.
由歸納假設(shè)知,剩下的k條直線之間的交點(diǎn)個數(shù)為f(k)=.
由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn),
所以直線l與l1,l2,l3,…,lk的交點(diǎn)共有k個,
10、∴f(k+1)=f(k)+k=+k=
==,
∴當(dāng)n=k+1時,命題成立.
由(1)(2)可知,命題對一切n∈N+且n≥2時成立.
1.從特殊入手,尋找一般性結(jié)論,并探索n變化時,交點(diǎn)個數(shù)間的關(guān)系.
2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時,關(guān)鍵是正確分析由n=k到n=k+1時幾何圖形的變化規(guī)律并結(jié)合圖形直觀分析,要講清原因.
3.在本例中,探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數(shù)是多少?并加以證明.
[解] 設(shè)分割成線段或射線的條數(shù)為f(n),則f(2)=4,f(3)=9,f(4)=16.
猜想n條直線分割成線段或射線的條數(shù)f(n)=n2(n≥2),下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明
11、.
(1)當(dāng)n=2時,顯然成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,且k∈N+)時,
結(jié)論成立,f(k)=k2.
則當(dāng)n=k+1時,設(shè)有l(wèi)1,l2,…,lk,lk+1,共k+1條直線滿足題設(shè)條件.
不妨取出直線l1,余下的k條直線l2,l3,…,lk,lk+1互相分割成f(k)=k2條射線或線段.
直線l1與這k條直線恰有k個交點(diǎn),則直線l1被這k個交點(diǎn)分成k+1條射線或線段.k條直線l2,l3,…,lk-1中的每一條都與l1恰有一個交點(diǎn),因此每條直線又被這一個交點(diǎn)多分割出一條射線或線段,共有k條.
故f(k+1)=f(k)+k+1+k=k2+2k+1=(k+1)2,
∴當(dāng)n=k+1
12、時,結(jié)論正確.
由(1)(2)可知,上述結(jié)論對一切n≥2且n∈N+均成立.
數(shù)學(xué)歸納法的概念
[探究問題]
1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法中,n取的第一個值n0是否一定是1?
[提示] n0不一定是1,指適合命題的第一個正整數(shù),不是一定從1開始.
2.如何理解數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟之間的關(guān)系?
[提示] 第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ),第二步是論證命題遞推的橋梁,這兩個步驟缺一不可,只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷,可能得出不正確的結(jié)論,因?yàn)閱慰坎襟E(1)無法遞推下去,即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確,我們無法判斷.同樣只有步驟(2)而缺少步驟(1)時,也可能得出不正確的結(jié)論,缺少步驟(
13、1)這個基礎(chǔ),假設(shè)就失去了成立的前提,步驟(2)也就無意義了.
【例4】 用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在驗(yàn)證n=1成立時,左邊計算的結(jié)果是( )
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
[精彩點(diǎn)撥] 注意左端特征,共有n+2項(xiàng),首項(xiàng)為1,最后一項(xiàng)為an+1.
C [實(shí)際是由1(即a0)起,每項(xiàng)指數(shù)增加1,到最后一項(xiàng)為an+1,所以n=1時,左邊的最后一項(xiàng)應(yīng)為a2,因此左邊計算的結(jié)果應(yīng)為1+a+a2.]
1.驗(yàn)證是基礎(chǔ):找準(zhǔn)起點(diǎn),奠基要穩(wěn),有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定為1.
2.遞推是關(guān)鍵:正確分析由
14、n=k到n=k+1時式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障.
4.當(dāng)f(k)=1-+-+…+-,則f(k+1)=f(k)+________.
[解析] f(k+1)=1-+-+…+-+-,∴f(k+1)=f(k)+-.
[答案] -
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·
(2n+1)時,在驗(yàn)證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式為( )
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
C [當(dāng)n=1時左邊所得的代數(shù)式為1+2+3.]
2.某個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,如果當(dāng)n=k(k∈N+且k≥1)時命
15、題成立,則一定可推得當(dāng)n=k+1時,該命題也成立.現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么應(yīng)有( )
A.當(dāng)n=4時,該命題成立
B.當(dāng)n=6時,該命題成立
C.當(dāng)n=4時,該命題不成立
D.當(dāng)n=6時,該命題不成立
C [若n=4時命題成立,由遞推關(guān)系知n=5時命題成立,與題中條件矛盾,所以n=4時,該命題不成立.]
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+)時,從“n=k到n=k+1”左端需乘以的代數(shù)式為( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
B [當(dāng)n=k時,等式為(k+1)(k+2)…(k+k
16、)=2k·1·3·…·(2k-1).
當(dāng)n=k+1時,左邊=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2).
比較n=k和n=k+1時等式的左邊,可知左端需乘以=2(2k+1).故選B.]
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,n∈N+”時,若n=1,則左端應(yīng)為________.
[解析] 當(dāng)n=1時,左端應(yīng)為1×4=4.
[答案] 4
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+a+a2+…+an-1=(a≠1,n∈N+).
[證明] (1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊==1,等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,等式成立,
即1+a+a2+…+ak-1=.
那么n=k+1時,
左邊=1+a+a2+…+ak-1+ak=+ak
==
=右邊,
所以等式也成立.
由(1)(2)可知,對任意n∈N+等式均成立.
- 7 -