2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應用教學案 理（含解析）新人教A版

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1、第九節(jié)　函數(shù)模型及其應用 [考綱傳真]　1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用． 1．常見的幾種函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函數(shù)模型：y＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)． (3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)． (4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a，b，c為常數(shù)，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋

2、n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 2．三種函數(shù)模型之間增長速度的比較 函數(shù) 性質(zhì) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 因n而異 圖象的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax 3.解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字) (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量

3、關系，初步選擇數(shù)學模型； (2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型； (3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題． 以上過程用框圖表示如下： [常用結(jié)論] 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型： (1)該函數(shù)在(－∞，－]和[，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在[－，0]和(0，]上單調(diào)遞減． (2)當x＞0時，x＝時取最小值2， 當x＜0時，x＝－時取最大值－2. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝2

4、x與函數(shù)y＝x2的圖象有且只有兩個公共點．(　　) (2)冪函數(shù)增長比直線增長更快．(　　) (3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表，則x，y最適合的函數(shù)是(　　) x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 A.y＝2x　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2

5、 D．y＝log2 x D　[當x＝0.50時，y＝－0.99，從而排除選項A、C，又當x＝2.01時，y＝0.98，從而排除選項B，故選D.] 3．(教材改編)一個工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總成本y(單位：萬元)與產(chǎn)量x(單位：臺)之間的函數(shù)關系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，生產(chǎn)的產(chǎn)品全部賣出，則該工廠獲得最大利潤(利潤＝銷售收入－產(chǎn)品成本)時的產(chǎn)量是(　　) A．70臺 B．75臺 C．80臺 D．85臺 B　[由題意可知，利潤f(x)＝25x－y＝－0.1x2＋15x－300，(0＜x≤240，x∈N) ∴當x＝75

6、時，f(x)取到最大，故選B.] 4．某商品價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來價格比較，變化的情況是(　　) A．減少7.84%　　 B．增加7.84% C．減少9.5% D．不增不減 A　[設某商品原來價格為a，四年后價格為： a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a， (0.921 6－1)a＝－0.078 4a， 所以四年后的價格與原來價格比較，減少7.84%.] 5．某城市客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100 km，票價是0.5元/km，如果超過100 km，超過100 km的部分按

7、0.4元/km定價，則客運票價y(元)與行駛千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關系式是________． y＝　[由題意可知，當0＜x≤100時，y＝0.5x. 當x＞100時，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4 ＝0.4x＋10. ∴y＝] 用函數(shù)圖象刻畫變化過程 1.如圖，在不規(guī)則圖形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線l⊥AB于E，當l從左至右移動(與線段AB有公共點)時，把圖形ABCD分成兩部分，設AE＝x，左側(cè)部分面積為y，則y關于x的大致圖象為(　　) A　　 　B　 　 C　 　D D　[因為左側(cè)部分面積為y，隨x的變化而變化，最

8、初面積增加得快，后來均勻增加，最后緩慢增加，只有D選項適合．] 2．物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案．據(jù)預測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預測的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是(　　) A　 　B　　　 C　 　D B　[因為運輸效率逐步提高，故曲線上每點處的切線斜率應該逐漸增大，故選B.] 3．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是(　　)

9、 A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米 B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多 C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油 D．某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 D　[根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車

10、比用乙車更省油，故選項D對．] [規(guī)律方法]　判斷函數(shù)圖象與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法 (1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象. (2)驗證法：當根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案. 應用所給函數(shù)模型解決實際問題 【例1】　小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)＝x

11、2＋x(萬元)．在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)＝6x＋－38(萬元)．每件產(chǎn)品售價為5元．通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當年全部售完． (1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本) (2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？ [解]　(1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元， 依題意得，當0＜x＜8時， L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 當x≥8時，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)當0＜x＜8時，L(x)＝－(x－6)2＋9

12、. 此時，當x＝6時，L(x)取得最大值L(6)＝9萬元， 當x≥8時，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，此時，當且僅當x＝，即x＝10時，L(x)取得最大值15萬元．因為9＜15，所以當年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元． [規(guī)律方法]　求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關注點 (1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù). (2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù). (3)利用該模型求解實際問題. 易錯警示：(1)解決實際問題時要注意自變量的取值范圍. (2)利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.

13、 (1)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(　　) A．3.50分鐘　　　 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘 (2)(2019·沈陽模擬)一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始

14、時的八分之一． (1)B　(2)16　[(1)根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關系式， 聯(lián)立方程組得 消去c化簡得 解得 所以p＝－0.2t2＋1.5t－2 ＝－＋－2 ＝－2＋， 所以當t＝＝3.75時，p取得最大值， 即最佳加工時間為3.75分鐘． (2)當t＝0時，y＝a，當t＝8時，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即y＝ae－b t＝a，e－b t＝＝(e－8 b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過16 min.] 構建函數(shù)模型解決實際問題 【例2

15、】　某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租．該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超出1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后的所得)． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式及其定義域； (2)試問當每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使一日的凈收入最多？ [解]　(1)當x≤6時，y＝50x－115.

16、 令50x－115＞0，解得x＞2.3. ∵x∈N*，∴3≤x≤6，x∈N*. 當x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0. 又x∈N*，∴6＜x≤20(x∈N*)， 故y＝ (2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，顯然當x＝6時，ymax＝185. 對于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6＜x≤20，x∈N*)， 當x＝11時，ymax＝270.又∵270＞185， ∴當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多． [規(guī)律方法]　構建函數(shù)模型解決實際問題的常見類型

17、與求解方法 (1)構建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解． (2)構建分段函數(shù)模型，應用分段函數(shù)分段求解的方法． (3)構建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、導數(shù)等知識求解． 易錯警示：求解過程中不要忽視實際問題是對自變量的限制． (2016·四川高考)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2018年

18、 B．2019年 C．2020年 D．2021年 B　[設2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，兩邊取常用對數(shù)，得n>≈＝，∴n≥4，∴從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．] 函數(shù)模型的選擇 【例3】　(2019·沈陽模擬)某種特色水果每年的上市時間從4月1號開始僅能持續(xù)5個月的時間．上市初期價格呈現(xiàn)上漲態(tài)勢，中期價格開始下降，后期價格在原有價格基礎之上繼續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價格變化的模擬函數(shù)可供選擇：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．

19、其中p，q均為常數(shù)且q＞1.(注：x表示上市時間，f(x)表示價格，記x＝0表示4月1號，x＝1表示5月1號，…，以此類推x∈[0,5]) (1)在上述三個價格模擬函數(shù)中，哪一個更能體現(xiàn)該種水果的價格變化態(tài)勢，請你選擇，并簡要說明理由； (2)對(1)中所選的函數(shù)f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，記g(x)＝，經(jīng)過多年的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，當函數(shù)g(x)取得最大值時，拓展外銷市場的效果最為明顯，請預測明年拓展外銷市場的時間是幾月1號？ [解]　(1)根據(jù)題意，該種水果價格變化趨勢是先單調(diào)遞增后一直單調(diào)遞減，基本符合開口向下的二次函數(shù)變化趨勢， 故應該選擇②f(x)＝px2＋qx＋7.

20、 (2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x2＋4x＋7. g(x)＝ ＝－ ＝－. 因為－≤－2， 當且僅當x＋1＝3，即x＝2時等號成立． 所以明年拓展外銷的時間應為6月1號． [規(guī)律方法]　根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型時應注意以下幾點： (1)若能夠根據(jù)實際問題作出滿足題意的函數(shù)圖象，可結(jié)合圖象特征選擇. (2)當研究的問題呈現(xiàn)先增長后減少的特點時，可以選用二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均為常數(shù)，a＜0)；當研究的問題呈現(xiàn)先減少后增長的特點時，可以選用二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均為常數(shù)，a＞0). (3)對數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1時)增長越來越慢，而指數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1時)增長越來越快. 某商場2018年1月份到12月份銷售額呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢，下列四個函數(shù)中，能較準確地反映商場月銷售額f(x)與月份x的關系且滿足f(1)＝8，f(3)＝2的函數(shù)為(　　) A．f(x)＝20×x B．f(x)＝－6log3 x＋8 C．f(x)＝x2－12x＋19 D．f(x)＝x2－7x＋14 D　[把f(1)＝8，f(3)＝2逐一代入四個選項中，并結(jié)合f(x)與x間呈先下降后上升的趨勢，不難選出選項D符合．] - 8 -