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1、九年級(jí)總復(fù)習(xí)(河北)習(xí)題 第3章 第5節(jié) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
一、精心選一選
1.(xx·成都)將二次函數(shù)y=x2-2x+3化為y=(x-h(huán))2+k的形式,結(jié)果為( D )
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2
C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2
2.(xx·麗水)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),將函數(shù)y=2x2+4x-3的圖象向右平移2個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位得到圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( C )
A.(-3,-6) B.(1,-4)
C.(1,-6) D.(-3,-4)
3.(xx·泰安)對(duì)于拋物線y=-(x+1)2+3,下列結(jié)論:
2、①拋物線的開(kāi)口向下;②對(duì)稱軸為直線x=1;③頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3);④x>1時(shí),y隨x的增大而減?。渲姓_結(jié)論的個(gè)數(shù)為( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(xx·寧夏)已知a≠0,在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax與y=ax2的圖象有可能是( C )
5.如圖,Rt△OAB的頂點(diǎn)A(-2,4)在拋物線y=ax2上,將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °,得到△OCD,邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( C )
A.(,) B.(2,2) C.(,2) D.(2,)
6.(xx·聊城)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2經(jīng)過(guò)平移得到拋物線
3、y=x2-2x,其對(duì)稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為( B )
A.2 B.4 C.8 D.16
7.(xx·威海)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,則下列說(shuō)法:①c=0;②該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-1;③當(dāng)x=1時(shí),y=2a;④am2+bm+a>0(m≠-1).其中正確的個(gè)數(shù)是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(xx·南充)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如圖所示,下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b=0;③當(dāng)m≠1時(shí),a+b>am2+bm;④a-b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x
4、2,則x1+x2=2.其中正確的有( D )
A.①②③ B.②④
C.②⑤ D.②③⑤
二、細(xì)心填一填
9.(xx·長(zhǎng)沙)拋物線y=3(x-2)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_(2,5)__.
10.(xx·黃石)若關(guān)于x的函數(shù)y=kx2+2x-1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_k=0或k=-1__.
11.(xx·長(zhǎng)春)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+3與y軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線交拋物線y=x2于點(diǎn)B,C,則BC的長(zhǎng)度為_(kāi)_6__.
12.(xx·蘭州)以扇形OAB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn),半徑OB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2
5、,0),若拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__-2<k<__.
三、用心做一做
13.(xx·寧波)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出直線y=x+1,并寫(xiě)出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí),一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值.
解:(1)y=x2-x-1 (2)當(dāng)y=0時(shí),x2-x-1=0,解得x1=2,x2=-1,∴D(-1,0) (3)-1<x<4,畫(huà)圖略
14.(xx·邵陽(yáng)
6、)如圖,已知拋物線y=-2x2-4x的圖象E,將其向右平移兩個(gè)單位后得到圖象F.
(1)求圖象F所表示的拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線F和x軸相交于點(diǎn)O,點(diǎn)B(點(diǎn)B位于點(diǎn)O的右側(cè)),頂點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)A位于y軸負(fù)半軸上,且到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離的2倍,求AB所在直線的解析式.
解:(1)y=-2x2+4x
(2)由y=-2x2+4x=-2(x-1)2+2,得點(diǎn)C到x軸的距離為2,∴點(diǎn)A到x軸的距離為4,∴A(0,-4),又B(2,0),故得AB所在直線的解析式為y=2x-4
15.(xx·溫州)如圖,拋物線y=-x2+2x+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),它們的對(duì)稱軸與x軸交
7、于點(diǎn)N,過(guò)頂點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E,連接BE交MN于點(diǎn)F.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0).
(1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)求△EMF與△BNF的面積之比.
解:(1)y=-x2+2x+3,頂點(diǎn)M(1,4) (2)∵A(-1,0),拋物線對(duì)稱軸為x=1,∴點(diǎn)B(3,0),∴EM=1,BN=2.∵EM∥BN,∴△EMF∽△BNF,∴=()2=()2=
16.(xx·臺(tái)州)如圖①,已知直線l:y=-x+2與y軸交于點(diǎn)A,拋物線y=(x-1)2+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,其頂點(diǎn)為B,另一拋物線y=(x-h(huán))2+2-h(huán)(h>1)的頂點(diǎn)為D,兩拋物線相交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo),并
8、說(shuō)明點(diǎn)D在直線l上的理由;
(2)設(shè)交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m.
①交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)可以表示為:__(m-1)2+1__或__(m-h(huán))2-h(huán)+2__,由此進(jìn)一步探究m關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖②,若∠ACD=90°,求m的值.
解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=-x+2=2,∴A(0,2),把A(0,2)代入y=(x-1)2+k,得1+k=2,∴k=1,∴B(1,1).∵D(h,2-h(huán)),當(dāng)x=h時(shí),y=-x+2=-h(huán)+2=2-h(huán),∴點(diǎn)D在直線l上
(2)①(m-1)2+1或(m-h(huán))2-h(huán)+2.由題意得(m-1)2+1=(m-h(huán))2-h(huán)+2,整理得2mh-2m=h2-h(huán),∵h(yuǎn)>1,∴m
9、==?、谌鐖D,過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線,垂足為E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F,可證∠ACE=∠CDF,又∵∠AEC=∠DFC,∴△ACE∽△CDF,∴=,又∵C(m,m2-2m+2),D(2m,2-2m),∴AE=m2-2m,DF=m2,CE=CF=m,∴=,∴m2-2m=1,解得m=±+1,又∵h(yuǎn)>1,∴m=>,∴m=+1
挑戰(zhàn)技能
17.(xx·孝感)拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D(-1,2),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)(-3,0)和(-2,0)之間,其部分圖象如圖所示,則以下結(jié)論:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
10、其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( C )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
18.(xx·湖州)已知當(dāng)x1=a,x2=b,x3=c時(shí),二次函數(shù)y=x2+mx對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1,y2,y3,若正整數(shù)a,b,c恰好是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),且當(dāng)a<b<c時(shí),都有y1<y2<y3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__m>-__.
19.(xx·河北)如圖,一段拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3),記為C1,它與x軸交于點(diǎn)O,A1;將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180 °得C2,交x軸于點(diǎn)A2;將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x軸于點(diǎn)A3;……如此進(jìn)行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段拋物線C13上,
11、則m=__2__.
20.(xx·涼山州)如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,-1),二次函數(shù)y=-x2的圖象為l1.
(1)平移拋物線l1,使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,但不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.
①滿足此條件的函數(shù)解析式有__無(wú)數(shù)個(gè)__個(gè);
②寫(xiě)出向下平移且過(guò)點(diǎn)A的解析式__y=-x2-1__.
(2)平移拋物線l1,使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),所得的拋物線為l2,如圖②,求拋物線l2的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo),并求△ABC的面積;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使S△ABC=S△ABP,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(2)
12、設(shè)l2為y=-x2+bx+c,∵拋物線過(guò)A(1,-2),B(3,-1),∴∴b=,c=-,∴y=-x2+x-,頂點(diǎn)(,-),S△ABC= (3)延長(zhǎng)BA交y軸于G,直線AB的解析式為y=x-,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,-),設(shè)P的坐標(biāo)為(0,h).①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方時(shí),PG=--h(huán),連接AP,BP,則S△ABP=S△BPG-S△APG=--h(huán),又S△ABC=S△ABP=,得h=-,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-);②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的上方時(shí),PG=+h,同理h=-,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-).綜上可知,在y軸上存在點(diǎn)P,使S△ABC=S△ABP,所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-)或(0,-)
21.(xx·徐州)
13、如圖,二次函數(shù)y=x2+bx-的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接DP,過(guò)點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo):__(-3,4)__;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AO(點(diǎn)P不與A,O重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí),線段OE的長(zhǎng)有最大值,求出這個(gè)最大值;
(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PED是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(2)設(shè)PA=t,OE=l,由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE,∴=,∴l(xiāng)=-t2+t=-(t-)2+,∴當(dāng)t=時(shí),l有最大值
(3)存在,①當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,0),由△PAD≌△EOP得OE=PA=1,∴OP=OA+PA=4,∵△ADG∽△OEG,∴AG∶GO=AD∶OE=4∶1,∴AG=AO=,∴重疊部分的面積為×4×=;②當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),此時(shí)重疊部分的面積為