2019年高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學案 理 北師大版

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1、 第三節(jié)　圓的方程 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． (對應(yīng)學生用書第134頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡) 標準 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心(a，b)，半徑r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圓心， 半徑 2.點與圓的位置關(guān)系 點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0，y0)在圓外，則

2、(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)． (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓．(　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) (4)若點M(x0，y0)在圓x

3、2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　) [解析]　由圓的定義及點與圓的位置關(guān)系，知(1)(3)(4)正確． (2)中，當t≠0時，表示圓心為(－a，－b)，半徑為|t|的圓，不正確． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D　[由題意得圓的半徑為，故該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，故選D.] 3．(2016·全國卷Ⅱ)圓x2＋

4、y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－　 B．－ C．　　　D．2 A　[圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.] 4．點(2a，a－1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，則a的取值范圍是(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．－1＜a＜ D．－＜a＜1 D　[由(2a)2＋(a－2)2＜5得－＜a＜1.] 5．(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為________． (x－2)2＋y2

5、＝10　[設(shè)圓心坐標為C(a,0)， ∵點A(－1,1)和B(1,3)在圓C上， ∴|CA|＝|CB|，即＝， 解得a＝2，所以圓心為C(2,0)， 半徑|CA|＝＝， ∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.] (對應(yīng)學生用書第135頁) 圓的方程 　(1)(2017·豫北名校4月聯(lián)考)圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 (2)(2015·全國卷Ⅱ)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)

6、的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|＝(　　) A．2　　　　　　 B．8 C．4 D．10 (1)D　(2)C　[(1)設(shè)圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2,0)關(guān)于直線y＝x對稱的點的坐標為(a，b)，則有解得a＝1，b＝，從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4.故選D. (2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 ∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故選C．] [規(guī)律方法]　求圓的方程的兩種方法 (1)直

7、接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程. (2)待定系數(shù)法： ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值. ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值. 易錯警示：解答圓的有關(guān)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì). [跟蹤訓練]　(1)(2018·?？谡{(diào)研)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的標準方程為(　　) 【導學號：79140274】

8、A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 (2)(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________． (1)C　(2)(x－2)2＋y2＝9　[(1)到兩直線3x－4y＝0和3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，聯(lián)立方程組解得所以圓M的圓心坐標為(－3，－1)，又兩平行線之間的距離為＝2，所以圓M的半徑為1，所以圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故選C． (

9、2)因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a>0， 所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝， 解得a＝2， 所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9.] 與圓有關(guān)的最值問題 　已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． [解]　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圓心C的坐標為(2,7)，半徑r＝2. 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4

10、＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)可知表示直線MQ的斜率k. 設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. 由直線MQ與圓C有交點，所以≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值為2＋，最小值為2－. 1．(變化結(jié)論)在本例的條件下，求y－x的最大值和最小值． [解]　設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0. 當直線y＝x＋b與圓C相切時，截距b取到最值， ∴＝2，∴b＝9或b＝1. 因此y－x的最大值為9，最小值為1. 2．(變換條件)若本例中條件“點Q(－2,3)”改為“點Q是直線3x＋4y＋1＝0上的動點”，其它條件不變，試求|MQ|

11、的最小值． [解]　∵圓心C(2,7)到直線3x＋4y＋1＝0上動點Q的最小值為點C到直線3x＋4y＋1＝0的距離， ∴|QC|min＝d＝＝7. 又圓C的半徑r＝2， ∴|MQ|的最小值為7－2. [規(guī)律方法]　與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法 (1)形如μ＝形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題. (2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題. (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題. [跟蹤訓練]　(1)(2018·陜西質(zhì)檢(一))圓：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2

12、的距離的最大值是(　　) A．1＋ B．2 C．1＋ D．2＋2 (2)(2017·廣東七校聯(lián)考)圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)對稱，則＋的最小值是(　　) A．2 B. C．4 D. (1)A　(2)D　[(1)由已知得圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，則圓心坐標為(1,1)，半徑為1，所以圓心到直線的距離為＝，所以圓上的點到直線的距離的最大值是1＋，故選A． (2)由圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其標準方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋3＝0(a＞0

13、，b＞0)對稱，∴該直線經(jīng)過圓心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，當且僅當＝，即a＝b時取等號，故選D.] 與圓有關(guān)的軌跡問題 　已知A(2,0) 為圓x2＋y2＝4上一定點，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點. 【導學號：79140275】 (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程． [解]　(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)， 由中點坐標公式可知， P點坐標為(2x－2,2y)． 因為P點在圓x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4

14、. 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|， 設(shè)O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. [規(guī)律方法]　求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解. (2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解. (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解. (4)代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解. [跟蹤訓練]　已知點A(－1,0)，點B(2,0)，動點C滿足|AC|＝|AB|，求點C與點P(1,4)所連線段的中點M的軌跡方程． [解]　由題意可知：動點C的軌跡是以(－1,0)為圓心，3為半徑長的圓，方程為(x＋1)2＋y2＝9. 設(shè)M(x0，y0)，則由中點坐標公式可求得 C(2x0－1,2y0－4)， 代入點C的軌跡方程得4x＋4(y0－2)2＝9， 化簡得x＋(y0－2)2＝， 故點M的軌跡方程為x2＋(y－2)2＝. 6