2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性 一 平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-1

《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性 一 平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-1》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性 一 平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-1（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 一 行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P1] 1．平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理 (1)如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等． (2)用符號(hào)語(yǔ)言表述：已知a∥b∥c，直線(xiàn)m、n分別與a、b、c交于點(diǎn)A、B、C和A′、B′、C′(如圖)，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′. [說(shuō)明] (1)定理中的平行線(xiàn)組是指每相鄰的兩條距離都相等的一組特殊的平行線(xiàn)；它是由三條或三條以上的平行線(xiàn)組成的． (2)“相等線(xiàn)段”是指在“同一條直線(xiàn)”上截得的線(xiàn)段相等． 2．平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理的推論 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 推 論 1 經(jīng)過(guò)三角形

2、一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平分第三邊 在△ABC中，若AB′＝B′B，B′C′平行于BC交AC于點(diǎn)C′，則AC′＝C′C 推 論 2 經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線(xiàn)平分另一腰 在梯形ABCD中，AD∥BC，若AE＝EB，EF平行于BC交DC于F點(diǎn)，則DF＝FC [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P1] 平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理 [例1]　已知如圖，直線(xiàn)l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分別交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD. 求證：A1B1＝B1C1＝C1D1. [思路點(diǎn)撥]　直接利用平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理即可． [證

3、明]　∵直線(xiàn)l1∥l2∥l3，且AB＝BC， ∴A1B1＝B1C1. ∵直線(xiàn)l2∥l3∥l4且BC＝CD， ∴B1C1＝C1D1， ∴A1B1＝B1C1＝C1D1. 平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理的應(yīng)用非常廣泛，在運(yùn)用的過(guò)程中要注意其所截線(xiàn)段的確定與對(duì)應(yīng)，分析存在相等關(guān)系的線(xiàn)段，并會(huì)運(yùn)用相等線(xiàn)段來(lái)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明． 1．已知：如圖，l1∥l2∥l3，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A．由AB＝BC可得FG＝GH B．由AB＝BC可得OB＝OG C．由CE＝2CD可得CA＝2BC D．由GH＝FH可得CD＝DE 解析：OB、OG不是一條直線(xiàn)被平行線(xiàn)組截得的線(xiàn)段． 答案

4、：B 2．如圖，已知線(xiàn)段AB，求作線(xiàn)段AB的五等分點(diǎn)． 作法：如圖，(1)作射線(xiàn)AC； (2)在射線(xiàn)AC上依任意長(zhǎng)順次截取AD＝DE＝EF＝FG＝GH； (3)連接HB； (4)過(guò)點(diǎn)G，F(xiàn)，E，D分別作HB的平行線(xiàn)GA1，F(xiàn)A2，EA3，DA4，分別交AB于點(diǎn)A1，A2，A3，A4. 則A1，A2，A3，A4就是所求的五等分點(diǎn)． 證明：過(guò)點(diǎn)A作MN∥HB， 則MN∥DA4∥EA3∥FA2∥GA1∥HB. 又AD＝DE＝EF＝FG＝GH， ∴AA4＝A4A3＝A3A2＝A2A1＝A1B(平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理)． 平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理推論1的運(yùn)用 [例2]　如圖，在

5、△ABC中，AD，BF為中線(xiàn)，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E. 求證：AG＝2DE. [思路點(diǎn)撥] →→→ [證明]　在△AEC中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故DG＝DE，即GE＝2DE， 因此AG＝2DE. 此類(lèi)問(wèn)題往往涉及平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理的推論1的運(yùn)用，尋找便于證明三角形中線(xiàn)段相等或平行的條件，再結(jié)合三角形全等或相似的知識(shí)，達(dá)到求解的結(jié)果． 3.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于O，OE平行于AB交BC于E

6、，AD＝6，求BE的長(zhǎng)． 解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形， 所以O(shè)A＝OC，BC＝AD. 又因?yàn)锳B∥DC，OE∥AB， 所以DC∥OE∥AB. 又因?yàn)锳D＝6， 所以BE＝EC＝BC＝AD＝3. 4．已知：AD是BC邊上的中線(xiàn)，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于點(diǎn)F. 求證：AF＝AC. 證明：如圖，過(guò)D作DG∥BF交AC于G. 在△BCF中，D是BC的中點(diǎn)， DG∥BF， ∴G為CF的中點(diǎn)．即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中點(diǎn)，EF∥DG， ∴F是AG的中點(diǎn)．即AF＝FG. ∴AF＝AC. 平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理推論2的運(yùn)用 [例3]　已

7、知，如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中點(diǎn)，求證：AM＝BM. [思路點(diǎn)撥]　解答本題應(yīng)先通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造推論2的應(yīng)用條件． [證明]　過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AB于點(diǎn)E， ∵AD∥BC， ∴AD∥EM∥BC. 又∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)， ∴E是AB的中點(diǎn)． ∵∠ABC＝90°， ∴ME垂直平分AB. ∴AM＝BM. 有梯形且存在線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)該點(diǎn)作平行線(xiàn)，構(gòu)造平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理的推論2的基本圖形，進(jìn)而進(jìn)行幾何證明或計(jì)算． 5．若將本例中“M是CD的中點(diǎn)”與“AM＝BM”互換，那么結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明． 解：結(jié)論成立．證明如下

8、： 過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴AD⊥AB，BC⊥AB. ∵M(jìn)E⊥AB，∴ME∥BC∥AD. ∵AM＝BM，且ME⊥AB， ∴E為AB的中點(diǎn)，∴M為CD的中點(diǎn)． 6．已知：如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A，B，C，D，O分別作直線(xiàn)a的垂線(xiàn)，垂足分別為A′，B′，C′，D′，O′； 求證：A′D′＝B′C′. 證明：∵?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于O點(diǎn)， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′. 同理：O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B

9、′C′. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P3] 一、選擇題 1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，且EF＝2 cm，則AB＋CD等于(　　) A．1 cm　　　　　　　　　　 B．2 cm C．3 cm D．4 cm 解析：由梯形中位線(xiàn)定理知EF＝(AB＋CD)， ∴AB＋CD＝4 cm. 答案：D 2．如圖，AD是△ABC的高，E為AB的中點(diǎn)，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的(　　) A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 解析：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD. 又E為AB的中點(diǎn)，由推論1知F為BD的中點(diǎn)， 即BF＝FD.

10、 又DC＝BD，∴DC＝BF. ∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF. 答案：A 3．梯形的中位線(xiàn)長(zhǎng)為15 cm，一條對(duì)角線(xiàn)把中位線(xiàn)分成3∶2兩段，那么梯形的兩底長(zhǎng)分別為(　　) A．12 cm　18 cm B．20 cm　10 cm C．14 cm　16 cm D．6 cm　9 cm 解析：如圖，設(shè)MP∶PN＝2∶3，則MP＝6 cm，PN＝9 cm. ∵M(jìn)N為梯形ABCD的中位線(xiàn)，在△BAD中，MP為其中位線(xiàn)， ∴AD＝2MP＝12 cm. 同理可得BC＝2PN＝18 cm. 答案：A 4．梯形的一腰長(zhǎng)10 cm，該腰和底邊所形成的角為30°，中位線(xiàn)長(zhǎng)為12 c

11、m，則此梯形的面積為(　　) A．30 cm2 B．40 cm2 C．50 cm2 D．60 cm2 解析：如圖，過(guò)A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位線(xiàn)長(zhǎng)為12 cm， ∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面積S＝(AD＋BC)·AE ＝×5×24＝60 (cm2)． 答案：D 二、填空題 5．如圖所示，已知a∥b∥c，直線(xiàn)m、n分別與a、b、c交于點(diǎn)A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，則B′C′＝________. 解析：直接利用平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理． 答案： 6.如圖，在△

12、ABC中，E是AB的中點(diǎn)，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝2 cm，則AC＝______；若BD＝10 cm，則EF＝________. 解析：由E是AB的中點(diǎn)，EF∥BD， 得EG＝AD＝FD＝2 cm， 結(jié)合CD＝AD， 可以得到F、D是AC的三等分點(diǎn)， 則AC＝3EG＝6(cm)． 由EF∥BD，得EF＝BD＝5(cm)． 答案：6 cm　5 cm 7．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為AB的中點(diǎn)，EF∥BC，G是BC邊上任一點(diǎn)，如果S△GEF＝2 cm2，那么梯形ABCD的面積是________cm2. 解析：因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，EF∥BC，

13、 所以EF為梯形ABCD的中位線(xiàn)， 所以EF＝(AD＋BC)， 且△EGF的高是梯形ABCD高的一半， 所以S梯形ABCD＝4S△EGF＝4×2 ＝8(cm2)． 答案：8 三、解答題 8．已知△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是BC的三等分點(diǎn)(BE>CE)，AE、CD交于點(diǎn)F. 求證：F是CD的中點(diǎn)． 證明：如圖，過(guò)D作DG∥AE交BC于G， 在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE， ∴BG＝GE. ∵E是BC的三等分點(diǎn)， ∴BG＝GE＝EC. 在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF， ∴DF＝CF. 即F是CD的中點(diǎn)． 9．如圖，先把矩形紙片ABCD對(duì)折后展

14、開(kāi)，并設(shè)折痕為MN；再把點(diǎn)B疊在折痕線(xiàn)上，得到Rt△AB1E.沿著EB1線(xiàn)折疊，得到△EAF.求證：△EAF是等邊三角形． 證明：因?yàn)锳D∥MN∥BC，AM＝BM， 所以B1E＝B1F. 又因?yàn)椤螦B1E＝∠B＝90°， 所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF. 根據(jù)折疊，得∠BAE＝∠B1AE， 所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°， 所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等邊三角形． 10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四邊形ABDE是平行四邊形，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交EC于F. 求證：EF＝FC. 證明：法一：如圖，連接BE交AF于O， ∵四邊形ABDE是平行四邊形， ∴BO＝OE. 又∵AF∥BC， ∴EF＝FC. 法二：如圖，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)H， ∵四邊形ABDE是平行四邊形， ∴AB∥ED，AB∥DH， AB＝ED. 又∵AF∥BC， ∴四邊形ABHD是平行四邊形． ∴AB＝DH. ∴ED＝DH. ∴EF＝FC. 法三：如圖，延長(zhǎng)EA交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于M， ∵四邊形ABDE是平行四邊形， ∴BD∥EA，AE＝BD. 又AD∥BC. ∴四邊形AMBD是平行四邊形． ∴AM＝BD. ∴AM＝AE. ∴EF＝FC. 9