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1、
習題課 復 數
明目標、知重點 1.鞏固復數的概念和幾何意義.2.理解并能進行復數的四則運算并認識復數加減法的幾何意義．
1．復數的四則運算，若兩個復數z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)
(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；
(2)減法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；
(4)除法：＝＋i(z2≠0)；
(5)實數四則運算的交換律、結合律、分配律都適合于復數的情況；
(6)特殊復數的運算：in(n為正整數)的周期性運算；
(
2、1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，則ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
2．共軛復數與復數的模
(1)若z＝a＋bi，則＝a－bi，z＋為實數，z－為純虛數(b≠0)．
(2)復數z＝a＋bi的模，|z|＝，
且z·＝|z|2＝a2＋b2.
3．復數加、減法的幾何意義
(1)復數加法的幾何意義
若復數z1、z2對應的向量、不共線，則復數z1＋z2是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數．
(2)復數減法的幾何意義
復數z1－z2是連接向量、的終點，并指向Z1的向量所對應的復數．
題型一 復數的四則運算
例1 (1)計算：＋2 012＋
；
(2)已知z＝1＋i，求
3、的模．
解 (1)原式＝＋1 006＋
＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模為.
反思與感悟 復數的除法運算是復數運算中的難點，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先應該寫成分式的形式，然后再分母實數化．
跟蹤訓練1 (1)已知＝2＋i，則復數z等于( )
A．－1＋3i B．1－3i
C．3＋i D．3－i
答案 B
解析 方法一 ∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
方法二 設z＝a＋bi(a，b∈R)，∴＝a－bi，
∴＝2＋i，∴，z＝1－3i.
(2)i為虛數單
4、位，則2 011等于( )
A．－i B．－1 C．i D．1
答案 A
解析 因為＝＝i，所以2 011＝i2 011＝i4×502＋3＝i3＝－i，故選A.
題型二 復數的幾何意義
例2 已知點集D＝{z||z＋1＋i|＝1，z∈C}，試求|z|的最小值和最大值．
解 點集D的圖象為以點C(－1，
－)為圓心，1為半徑的圓，圓上任一點P對應的復數為z，則||＝|z|.
由圖知，當OP過圓心C(－1，－)時，與圓交于點A、B，則|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－1＝2－1＝1，即|z|min＝1；
|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，
5、即|z|max＝3.
反思與感悟 復數和復平面內的點，以原點為起點的向量一一對應；復數加減法符合向量運算的平行四邊形法則和三角形法則：|z1－z2|表示復數z1，z2對應的兩點Z1，Z2之間的距離．
跟蹤訓練2 已知復數z1，z2滿足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝，求|z1＋z2|的值．
解 如圖所示，設z1，z2對應點分別為A，B，以，為鄰邊作?OACB，則對應的復數為z1＋z2.這里||＝3，||＝5，||＝.
∴cos ∠AOB＝
＝＝.
∴cos ∠OBC＝－.又||＝||＝3，
∴|z1＋z2|＝||
＝＝.
題型三 兩個復數相等
例3 設復數z
6、和它的共軛復數滿足4z＋2＝3＋i，求復數z.
解 設z＝a＋bi(a，b∈R)．
因為4z＋2＝3＋i，
所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.
2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整體代入上式，
得2z＋4a＝3＋i.所以z＝＋.
根據復數相等的充要條件，得
解得所以z＝＋.
反思與感悟 兩個復數相等是解決復數問題的重要工具．“復數相等”可以得到兩個實數等式，為應用方程思想提供了條件，常用于確定系數，解復數方程等問題．
跟蹤訓練3 是z的共軛復數，若z＋＝2，(z－)i＝2(i為虛數單位)，則z等于( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1
7、－i
答案 D
解析 方法一 設z＝a＋bi，a，b為實數，則＝a－bi.
∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
方法二 ∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.
又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.
1．以1＋2i的虛部為實部，以3i－2的實部為虛部的新復數是( )
A．2－2i B．2＋i C．3＋i D．2＋3i
答案 A
2．若x－2＋yi和3x－i互為共軛復數，則實數x與y的值是( )
A．x＝3，y＝3 B．x＝5，y＝1
C．x＝－1，y＝
8、－1 D．x＝－1，y＝1
答案 D
解析 x－2＝3x，y＝－(－1)，
即x＝－1，y＝1.
3．設復數z滿足(1＋i)z＝2，其中i為虛數單位，則z等于( )
A．1＋i B．1－i
C．2＋2i D．2－2i
答案 B
解析 z＝＝＝1－i，故選B.
4．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數單位，則a＋b等于( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ∵＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1.
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.
[呈重點、現規(guī)律]
1．復數的四則運算按照運算法則和運算律進行運算，其中除法運算的關鍵是將分母實數化；
2．復數的幾何意義是數形結合思想在復數中的一大體現；
3．利用兩個復數相等可以解決求參數值(或范圍)和復數方程等問題．
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2017-2018版高中數學 第三章 數系的擴充與復數 習題課 復數學案 新人教B版選修2-2
