2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題13 直線與圓教學(xué)案 文

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1、 專題13 直線與圓 (1)以客觀題形式考查兩條直線平行與垂直的關(guān)系判斷,常常是求參數(shù)值或取值范圍,有時也與命題、充要條件結(jié)合,屬??键c之一. (2)與三角函數(shù)、數(shù)列等其他知識結(jié)合,考查直線的斜率、傾斜角、直線與圓的位置關(guān)系等,以客觀題形式考查. (3)本部分內(nèi)容主要以客觀題形式考查,若在大題中考查,較少單獨命制試題,常常與圓錐曲線相結(jié)合,把直線與圓的位置關(guān)系的判斷或應(yīng)用作為題目條件的一部分或一個小題出現(xiàn),只要掌握最基本的位置關(guān)系,一般都不難獲解. 1.直線方程 (1)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系 傾斜角α的取值范圍:0°≤α<180°. 傾斜角為α(α≠90°)的直線的斜

2、率k=tanα,傾斜角為90°的直線斜率不存在. 當(dāng)0°<α<90°時,k>0且k隨傾斜角α的增大而增大. 當(dāng)90°<α<180°時,k<0且k隨傾斜角α的增大而增大. (2)直線方程 名稱 方程 適用范圍 點斜式 y-y1=k(x-x1) 不能表示與x軸垂直的直線 斜截式 y=kx+b 不能表示與x軸垂直的直線 兩點式 = 不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線 截距式 +=1 不能表示與坐標(biāo)軸垂直和過原點的直線 一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 適合所有的直線 (3)兩直線的位置關(guān)系 位置關(guān)系 l1:y=k1x+b1 l2:y=k2

3、x+b2 l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 平行 k1=k2,且b1≠b2 A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0 相交 k1≠k2特別地,l1⊥l2?k1k2=-1 A1B2≠A2B1特別地,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0 重合 k1=k2且b1=b2 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0 (4)距離公式 ①兩點P1(x1,y1),P(x2,y2)間的距離 |P1P2|=. ②點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離 d=. 2.圓的方程 (1)圓的方程 ①標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b

4、)2=r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r. ②一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心坐標(biāo)為,半徑r=. (2)點與圓的位置關(guān)系 ①幾何法:利用點到圓心的距離d與半徑r的關(guān)系判斷:d>r?點在圓外,d=r?點在圓上;d0)的位置關(guān)系如下表. 方法

5、位置關(guān)系 幾何法:根據(jù)d=與r的大小關(guān)系  代數(shù)法: 消元得一元二次方程,根據(jù)判別式Δ的符號 相交 d0 相切 d=r Δ=0 相離 d>r Δ<0 (4)圓與圓的位置關(guān)系 表現(xiàn)形式 位置關(guān)系 幾何表現(xiàn):圓心距d與r1、r2的關(guān)系 代數(shù)表現(xiàn):兩圓方程聯(lián)立組成的方程組的解的情況 相離 d>r1+r2 無解 外切 d=r1+r2 一組實數(shù)解 相交 |r1-r2|

6、式或斜截式求直線方程時,注意斜率不存在情形的討論,應(yīng)用截距式求直線方程時,注意過原點的情形. 2.判斷兩直線平行與垂直時,不要忘記斜率不存在的情形. 考點一 直線及其方程 例1. 【2017江蘇,13】在平面直角坐標(biāo)系中,點在圓上,若則點的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ▲ . 【答案】 【解析】設(shè),由,易得,由,可得或,由得P點在圓左邊弧上,結(jié)合限制條件 ,可得點P橫坐標(biāo)的取值范圍為. 【變式探究】【2016高考新課標(biāo)3文數(shù)】已知直線:與圓交于兩點,過分別做的垂線與軸交于兩點,若,則__________________. 【答案】4 【變式探究】已知點A(-1,0),B

7、(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是(  ) A.(0,1) B. C. D. 【答案】B 【解析】(1)當(dāng)直線y=ax+b與AB、BC相交時(如圖①),由得yE=,又易知xD=-,∴|BD|=1+,由S△DBE=××=得b=∈.    圖①        圖② (2)當(dāng)直線y=ax+b與AC、BC相交時(如圖②),由S△FCG=(xG-xF)·|CM|=得b=1-∈ (∵00恒成立 , ∴b∈∩,即b∈.故選B. 考點二 兩直線的位置關(guān)系 例2、【2016高考上

8、海文數(shù)】已知平行直線,則的距離___________. 【答案】 【解析】利用兩平行線間距離公式得. 已知點O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB為直角三角形,則必有(  ) A.b=a3 B.b=a3+ C.(b-a3)(b-a3-)=0 D.|b-a3|+|b-a3-|=0 【答案】C 【變式探究】設(shè)m∈R,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y),則|PA|·|PB|的最大值是________. 【答案】5 【解析】易求定點A(0,0),B(1,3).當(dāng)P與A和B均不重合時,不難驗

9、證PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=時,等號成立),當(dāng)P與A或B重合時,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5. 考點三 圓的方程 例3.【2017課標(biāo)3,文20】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與x軸交于A,B兩點,點C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時,解答下列問題: (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說明理由; (2)證明過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 【答案】(1)不會;(2)詳見解析 【解析】 (1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況,理由如下: 設(shè), ,則滿足,所以. 又C的坐標(biāo)為

10、(0,1),故AC的斜率與BC的斜率之積為,所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況. 【變式探究】【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1,則a=( ) (A) (B) (C) (D)2 【答案】A 【解析】圓的方程可化為,所以圓心坐標(biāo)為,由點到直線的距離公式得: ,解得,故選A. 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ,14)一個圓經(jīng)過橢圓+=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 【解析】由題意知圓過(4,0),(0,2),(0,-2)三點,(4,0),(0,-2)

11、兩點的垂直平分線方程為y+1=-2(x-2), 令y=0,解得x=,圓心為,半徑為.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=. 【答案】+y2= 考點四 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例4.【2016高考江蘇卷】 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知以為圓心的圓及其上一點 (1)設(shè)圓與軸相切,與圓外切,且圓心在直線上,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點,且,求直線的方程; (3)設(shè)點滿足:存在圓上的兩點和,使得,求實數(shù)的取值范圍。 【答案】(1)(2)(3) 【解析】 因為 而 所以,解得m=5或m=-15. 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ,7

12、)過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M、N兩點,則|MN|=(  ) A.2 B.8 C.4 D.10 【答案】C 【解析】由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),則·=3×(-3)+ (-1)×(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故過三點A、B、C的圓以AC為直徑,得其方程為(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,選C. 1.【2017江蘇,13】在平面直角坐標(biāo)系中, 點在圓上,若則點的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ▲ . 【答案】 2

13、.【2017課標(biāo)3,文20】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與x軸交于A,B兩點,點C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時,解答下列問題: (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說明理由; (2)證明過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 【答案】(1)不會;(2)詳見解析 【解析】 (1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況,理由如下: 設(shè), ,則滿足,所以. 又C的坐標(biāo)為(0,1),故AC的斜率與BC的斜率之積為,所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況. (2)BC的中點坐標(biāo)為(),可得BC的中垂線方程為. 由(1)可得,所以AB的中垂線方程為. 聯(lián)立又,可得 所以過A、B、C三點的圓的圓心坐標(biāo)為(),半徑

14、 故圓在y軸上截得的弦長為,即過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 1.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1,則a=( ) (A) (B) (C) (D)2 【答案】A 【解析】圓的方程可化為,所以圓心坐標(biāo)為,由點到直線的距離公式得: ,解得,故選A. 2.【2016高考上海文數(shù)】已知平行直線,則的距離___________. 【答案】 【解析】利用兩平行線間距離公式得. 3.【2016高考新課標(biāo)3文數(shù)】已知直線:與圓交于兩點,過分別做的垂線與軸交于兩點,若,則__________

15、________. 【答案】4 4.【2016高考新課標(biāo)1卷】(本小題滿分12分)設(shè)圓的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E. (I)證明為定值,并寫出點E的軌跡方程; (II)設(shè)點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)()(II) . 可得當(dāng)與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為. 當(dāng)與軸垂直時,其方程為,,,四邊形的面積為12. 綜上,四邊形面積的取值范圍為. 5.【2016高考江蘇卷】(本小題滿分16分

16、) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知以為圓心的圓及其上一點 (1)設(shè)圓與軸相切,與圓外切,且圓心在直線上,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點,且,求直線的方程; (3)設(shè)點滿足:存在圓上的兩點和,使得,求實數(shù)的取值范圍。 【答案】(1)(2)(3) 【解析】 1.(2015·江蘇,10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 【答案】(x-1)2+y2=2 【解析】直線mx-y-2m-1=0恒過定點(2,-1),由題意,得半徑最大的圓的半徑

17、r==. 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2. 2.(2015·重慶,8)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸,過點A(-4,a)作圓C的一條切線,切點為B,則|AB|=(  ) A.2 B.4 C.6 D.2 【答案】C 【解析】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4,圓心為C(2,1),半徑為r=2,因此2+a×1-1=0,a=-1,即A(-4,-1),|AB|== =6,選C. 3.(2015·山東,9)一條光線從點(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所

18、在直線的斜率為(  ) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 【答案】D 【解析】圓(x+3)2+(y-2)2=1的圓心為(-3,2),半徑r=1.(-2,-3)關(guān)于y軸的對稱點為(2,-3).如 1. 【2014高考江蘇卷第9題】在平面直角坐標(biāo)系中,直線被圓截得的弦長為 . 【答案】 【解析】圓的圓心為,半徑為,點到直線的距離為,所求弦長為. 【考點定位】直線與圓相交的弦長問題. 2. 【2014全國2高考文第16題】設(shè)點M(,1),若在圓O:上存在點N,使得∠OMN=45°,則的取值范圍是________. 【答案】 【解析】由題意知:

19、直線MN與圓O有公共點即可,即圓心O到直線MN的距離小于等于1即可,如圖, 過OA⊥MN,垂足為A,在中,因為∠OMN=45,所以=, 解得,因為點M(,1),所以,解得,故的取值范圍是 . 【考點定位】直線與圓的位置關(guān)系 3.【2014四川高考文第14題】設(shè),過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點,則的最大值是 . 【答案】5 【考點定位】直線與圓 4. 【2014重慶高考文第13題】已知直線與圓心為的圓相交于兩點,且為等邊三角形,則實數(shù)_________. 【答案】 【解析】由題設(shè)圓心到直線的距離為 解得: 所以答案應(yīng)填: 【考點定位】直線與

20、圓的位置關(guān)系 5.【2014陜西高考第12題】若圓的半徑為1,其圓心與點關(guān)于直線對稱,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______. 【答案】 【考點定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 6. 【2014高考湖北卷文第12題】直線和將單位圓分成長度相等的四段弧,則 . 【答案】2 【解析】依題意,設(shè)與單位圓相交于兩點,則∠°.如圖,當(dāng)時滿足題意,所以. 【考點定位】直線與圓 7. 【2014大綱高考文第15題】直線和是圓的兩條切線,若與的交點為,則與的夾角的正切值等于 . 【答案】. 【解析】顯然兩切線,斜率都存在.設(shè)圓過的切線方程為,則圓心到直線的距離等于半徑,,解得由夾角公式得與的夾角的正切值:. 18

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