《概率論題庫》word版

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1、1. 擲3枚硬幣, 求出現(xiàn)3個(gè)正面的概率. 解: 設(shè)事件A={出現(xiàn)3個(gè)正面} 基本事件總數(shù)n=23, 有利于A的基本事件數(shù)nA=1, 即A為一基本事件,則 2. 10把鑰匙中有3把能打開門, 今任取兩把, 求能打開門的概率. 解: 設(shè)事件A={能打開門}, 則為不能打開門 基本事件總數(shù), 有利于的基本事件數(shù), 因此, . 3. 一部四卷的文集隨便放在書架上, 問恰好各卷自左向右或自右向左的卷號(hào)為1,2,3,4的概率是多少? 解: 設(shè)A={恰好各卷自左向右或自右向左的卷號(hào)為1,2,3,4}, 基本事件總數(shù), 有利于A的基本事件數(shù)為, 因此, . 4. 100個(gè)

2、產(chǎn)品中有3個(gè)次品,任取5個(gè), 求其次品數(shù)分別為0,1,2,3的概率. 解: 設(shè)Ai={取到i個(gè)次品}, i=0,1,2,3, 基本事件總數(shù), 有利于Ai的基本事件數(shù)為 ，則 5. N個(gè)產(chǎn)品中有N1個(gè)次品, 從中任取n個(gè)(1≤n≤N1≤N), 求其中有k(k≤n)個(gè)次品的概率. 解: 設(shè)Ak={有k個(gè)次品}, k=0,1,2,…,n, 基本事件總數(shù), 有利于事件Ak的基本事件數(shù),k=0,1,2,…,n, 因此, 6. 一個(gè)袋內(nèi)有5個(gè)紅球, 3個(gè)白球, 2個(gè)黑球, 計(jì)算任取3個(gè)球恰為一紅, 一白, 一黑的概率. 解: 設(shè)事件A={任取三個(gè)球恰為一紅一白一黑的},

3、 則基本事件總數(shù), 有利于A的基本事件數(shù)為, 則 7. 兩封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵筒, 求前兩個(gè)郵筒內(nèi)沒有信的概率以及第一個(gè)郵筒內(nèi)只有一封信的概率. 解: 設(shè)事件A={前兩個(gè)郵筒沒有信}, 事件B={第一個(gè)郵筒內(nèi)只有一封信}, 則基本事件總數(shù), 有利于A的基本事件數(shù),有利于B的基本事件數(shù),則 ????? . 8. 一批產(chǎn)品中, 一, 二, 三等品率分別為0.8, 0.16, 0.04, 若規(guī)定一, 二等品為合格品, 求產(chǎn)品的合格率. 解: 設(shè)事件A1={一等品}, A2={二等品}, B={合格品}, 則 P(A1)=0.8, P(A2)=0.16, B=A1+A2, 且A1

4、與A2互不相容, 根據(jù)加法法則有 P(B)=P(A1)+P(A2)=0.8+0.16=0.96 9. 袋內(nèi)裝有兩個(gè)5分, 三個(gè)2分, 五個(gè)一分的硬幣, 任意取出5個(gè), 求總數(shù)超過一角的概率. 解：設(shè)B={總數(shù)超過一角}, A1={5個(gè)中有兩個(gè)5分}, A2={5個(gè)中有一個(gè)5分三個(gè)2分一個(gè)1分}, A3={5個(gè)中有一個(gè)5分兩個(gè)2分兩個(gè)1分}, 則B=A1+A2+A3, 而A1,A2,A3互不相容, 基本事件總數(shù)為 設(shè)有利于A1,A2,A3的基本事件數(shù)為n1,n2,n3，,則 ? 10. 求習(xí)題4中次品數(shù)不超過一個(gè)的概率. 解: 設(shè)Ai={取到i個(gè)次品}, i=0,1,

5、2,3, B={次品數(shù)不超過一個(gè)}, 則B=A0+A1, A0與A1互不相容, 則根據(jù)11題的計(jì)算結(jié)果有 P(B)=P(A0)+P(A1)=0.856+0.138=0.994 11. 由長期統(tǒng)計(jì)資料得知, 某一地區(qū)在4月份下雨(記作事件A)的概率為4/15, 刮風(fēng)(用B表示)的概率為7/15, 既刮風(fēng)又下雨的概率為1/10, 求P(A|B), P(B|A), P(A+B). 解: 根據(jù)題意有P(A)=4/15, P(B)=7/15, P(AB)=1/10, 則 12. 為防止意外, 在礦內(nèi)同時(shí)設(shè)有兩種報(bào)警系統(tǒng)A與B, 每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí), 其有效的概率系統(tǒng)A為0.92, 系統(tǒng)B

6、為0.93, 在A失靈的條件下, B有效的概率為0.85, 求 (1) 發(fā)生意外時(shí), 這兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率 (2) B失靈的條件下, A有效的概率 解: 設(shè)A={系統(tǒng)A有效}, B={系統(tǒng)B有效}, 則根據(jù)題意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, (1) 兩個(gè)系統(tǒng)至少一個(gè)有效的事件為A+B, 其對(duì)立事件為兩個(gè)系統(tǒng)都失效, 即, 而, 則 (2) B失靈條件下A有效的概率為, 則 ? 13. 10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽, 3人參加抽簽考試, 不重復(fù)地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 證明3人抽到難簽的概率相等. 證: 設(shè)事件A,B,C表

7、示甲,乙,丙各抽到難簽, 顯然P(A)=4/10, 而由 由于A與互不相容,且構(gòu)成完備事件組, 因此可分解為兩個(gè)互不相容事件的并, 則有?? 又因之間兩兩互不相容且構(gòu)成完備事件組, 因此有 分解為四個(gè)互不相容的事件的并,且 則 因此有P(A)=P(B)=P(C), 證畢. 14. 用3個(gè)機(jī)床加工同一種零件, 零件由各機(jī)床加工的概率分別為0.5, 0.3, 0.2, 各機(jī)床加工的零件為合格品的概率分別等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部產(chǎn)品中的合格率. 解: 設(shè)A1,A2,A3零件由第1,2,3個(gè)機(jī)床加工, B為產(chǎn)品合格,A1,A2,A3構(gòu)成完備事件組. 則根

8、據(jù)題意有 P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.9, P(B|A3)=0.95, 由全概率公式得全部產(chǎn)品的合格率P(B)為 15. 12個(gè)乒乓球中有9個(gè)新的3個(gè)舊的, 第一次比賽取出了3個(gè), 用完后放回去, 第二次比賽又取出3個(gè), 求第二次取到的3個(gè)球中有2個(gè)新球的概率. 解: 設(shè)A0,A1,A2,A3為第一次比賽取到了0,1,2,3個(gè)新球, A0,A1,A2,A3構(gòu)成完備事件組. 設(shè)B為第二次取到的3個(gè)球中有2個(gè)新球. 則有 根據(jù)全概率公式有 16. 某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱, 乙廠生產(chǎn)

9、的同種產(chǎn)品20箱, 甲廠每箱100個(gè), 廢品率為0.06, 乙廠每箱裝120個(gè), 廢品率是0.05, 求: (1)任取一箱, 從中任取一個(gè)為廢品的概率; (2)若將所有產(chǎn)品開箱混放, 求任取一個(gè)為廢品的概率. 解: (1) 設(shè)B為任取一箱, 從中任取一個(gè)為廢品的事件. 設(shè)A為取到甲廠的箱, 則A與構(gòu)成完備事件組 (2) 設(shè)B為開箱混放后任取一個(gè)為廢品的事件. 則甲廠產(chǎn)品的總數(shù)為30×100=3000個(gè), 其中廢品總數(shù)為3000×0.06=180個(gè), 乙廠產(chǎn)品的總數(shù)為20×120=2400個(gè), 其中廢品總數(shù)為2400×0.05=120個(gè),因此 17. 一個(gè)機(jī)床有1/3的時(shí)

10、間加工零件A, 其余時(shí)間加工零件B, 加工零件A時(shí), 停機(jī)的概率是0.3, 加工零件B時(shí), 停機(jī)的概率是0.4, 求這個(gè)機(jī)床停機(jī)的概率. 解: 設(shè)C為加工零件A的事件, 則為加工零件B的事件, C與構(gòu)成完備事件組. 設(shè)D為停機(jī)事件, 則根據(jù)題意有 P(C)=1/3, P()=2/3, P(D|C)=0.3, P(D|)=0.4, 根據(jù)全概率公司有 18. 甲, 乙兩部機(jī)器制造大量的同一種機(jī)器零件, 根據(jù)長期資料總結(jié), 甲機(jī)器制造出的零件廢品率為1%, 乙機(jī)器制造出的廢品率為2%, 現(xiàn)有同一機(jī)器制造的一批零件, 估計(jì)這一批零件是乙機(jī)器制造的可能性比它們是甲機(jī)器制造的可能性大一倍,

11、今從該批零件中任意取出一件, 經(jīng)檢查恰好是廢品, 試由此檢查結(jié)果計(jì)算這批零件為甲機(jī)器制造的概率. 解: 設(shè)A為零件由甲機(jī)器制造, 則為零件由乙機(jī)器制造, A與構(gòu)成完備事件組. 由P(A+)=P(A)+P()=1，并由題意知P()=2P(A), 得P(A)=1/3, P()=2/3. 設(shè)B為零件為廢品, 則由題意知P(B|A)=0.01, P(B|)=0.02, 則根據(jù)貝葉斯公式, 任抽一件檢查為廢品條件下零件由甲機(jī)器制造的概率為 19. 有兩個(gè)口袋, 甲袋中盛有兩個(gè)白球, 一個(gè)黑球, 乙袋中盛有一個(gè)白球兩個(gè)黑球. 由甲袋中任取一個(gè)球放入乙袋, 再從乙袋中取出一個(gè)球, 求取到白

12、球的概率. 解: 設(shè)事件A為從甲袋中取出的是白球, 則為從甲袋中取出的是黑球, A與構(gòu)成完備事件組. 設(shè)事件B為從乙袋中取到的是白球. 則 P(A)=2/3, P()=1/3, ?P(B|A)=2/4=1/2, P(B|)=1/4, 則根據(jù)全概率公式有 ?20. 上題中若發(fā)現(xiàn)從乙袋中取出的是白球, 問從甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪種顏色可能性大?解: 事件假設(shè)如上題, 而現(xiàn)在要求的是在事件B已經(jīng)發(fā)生條件下, 事件A和發(fā)生的條件概率P(A|B)和P(|B)哪個(gè)大, 可以套用貝葉斯公式進(jìn)行計(jì)算, 而計(jì)算時(shí)分母為P(B)已上題算出為0.417, 因此 P(A|B)>P(|B)

13、, 因此在乙袋取出的是白球的情況下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大. 21. 假設(shè)有3箱同種型號(hào)的零件, 里面分別裝有50件, 30件和40件, 而一等品分別有20件, 12件及24件. 現(xiàn)在任選一箱從中隨機(jī)地先后各抽取一個(gè)零件(第一次取到的零件不放回). 試求先取出的零件是一等品的概率; 并計(jì)算兩次都取出一等品的概率. 解: 稱這三箱分別為甲,乙,丙箱, 假設(shè)A1,A2,A3分別為取到甲,乙,丙箱的事件, 則A1,A2,A3構(gòu)成完備事件組.易知P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3.設(shè)B為先取出的是一等品的事件. 則 根據(jù)全概率公式有 設(shè)C為兩次都取到一等品的事件,

14、則 根據(jù)全概率公式有 22. 發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“·”和“—”。由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“·”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.8及0.2收到信息“·”及“—”；又當(dāng)發(fā)出信號(hào)“—”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.9及0.1收到信號(hào)“—”及“·”。求當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到“·”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“·”的概率，以及收到“—”時(shí)，確系發(fā)出“—”的概率。 解：設(shè)A為發(fā)出信號(hào)“·”，則為發(fā)出信號(hào)“—”，則A與構(gòu)成完備事件組，且有 P(A)=0.6, P()=0.4。 設(shè)B為收到信號(hào)“·”，則為收到信號(hào)“—”，根據(jù)題意有 P(B|A)=0.8, P(B|)=0.1， P(|A)=0

15、.2, P(|)=0.9 因此，根據(jù)貝葉斯公式，當(dāng)收到“·”條件下發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出“·”的概率為 而當(dāng)收到“—”條件下發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出“—”的概率為 23. 甲,乙兩人射擊, 甲擊中的概率為0.6, 乙擊中的概率為0.7, 兩人同時(shí)射擊, 并假定中靶與否是獨(dú)立的. 求(1)兩人都中靶的概率; (2) 甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率. 解: 設(shè)事件A為甲, 事件B為乙擊中, 則A與B相互獨(dú)立, P(A)=0.6, P(B)=0.7 (1) 兩人都中靶的概率：P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42 (2) 甲中乙不中的概率： (3) 甲不中乙中的概率： 24.

16、從廠外打電話給這個(gè)工廠某一車間要由工廠的總機(jī)轉(zhuǎn)進(jìn), 若總機(jī)打通的概率為0.6, 車間分機(jī)占線的概率為0.3, 假定二者是獨(dú)立的, 求從廠外向該車間打電話能打通的概率. 解: 設(shè)事件A為總機(jī)打通, B為車間分機(jī)占線, 則A與B相互獨(dú)立, P(A)=0.6, P(B)=0.3,則廠外向該車間打電話能打通的概率為 25. 加工一個(gè)產(chǎn)品要經(jīng)過三道工序, 第一,二,三道工序不出廢品的概率分別為0.9, 0.95, 0.8, 若假定各工序是否出廢品為獨(dú)立的, 求經(jīng)過三道工序而不出廢品的概率. 解: 設(shè)事件A,B,C為經(jīng)過第一,二,三道工序不出廢品, 則A,B,C相互獨(dú)立, 且有P(A)=0.9,

17、 P(B)=0.95, P(C)=0.8 經(jīng)過三道工序而不出廢品的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.95×0.8=0.684 26. 一個(gè)自動(dòng)報(bào)警器由雷達(dá)和計(jì)算機(jī)兩部分組成, 兩部分有任何一個(gè)失靈, 這個(gè)報(bào)警器失靈, 若使用100小時(shí)后, 雷達(dá)部分失靈的概率為0.1, 計(jì)算機(jī)失靈的概率為0.3, 若兩部分失靈與否為獨(dú)立的, 求這個(gè)報(bào)警器使用100小時(shí)而不失靈的概率. 解: 設(shè)A為雷達(dá)失靈, B為計(jì)算機(jī)失靈, 則A與B相互獨(dú)立, 且有P(A)=0.1, P(B)=0.3 因此, 這個(gè)報(bào)警器使用100小時(shí)不失靈的概率為 27. 制造一種零件可采用兩種工藝, 第

18、一種工藝有三道工序, 每道工序的廢品率分別為0.1, 0.2, 0.3; 第二種工藝有兩道工序, 每道工序的廢品率都是0.3; 如果使用第一種工藝, 在合格零件中, 一級(jí)品率為0.9, 而用第二種工藝, 合格品中的一級(jí)品率只有0.8, 試問哪一種工藝能保證得到一級(jí)品的概率較大? 解: (1) 計(jì)算第一種工藝的一級(jí)品率 設(shè)A1,A2,A3為經(jīng)過第一,二,三道工序時(shí)出廢品, B為產(chǎn)品合格, C為產(chǎn)品為一級(jí)品，則A1,A2,A3相互獨(dú)立, , 并有P(A1)=0.1, P(A2)=0.2, P(A3)=0.3, P(C|B)=0.9 因, 因此BC=C,則 ,則第一種工藝的一級(jí)品率為 (

19、2) 計(jì)算第二種工藝的一級(jí)品率 設(shè)A1,A2為經(jīng)過第一,二道工序時(shí)出廢品, B為產(chǎn)品合格, C為產(chǎn)品為一級(jí)品，則A1,A2相互獨(dú)立, , 并有P(A1)=P(A2)=0.3，P(C|B)=0.8 因, 因此BC=C, 則 , 因此第二種工藝的一級(jí)品率為 因此, 第一種工藝的一級(jí)品率0.4536要大于第二種工藝的一級(jí)品率0.392. 28. 3人獨(dú)立地去破譯一個(gè)密碼, 他們能譯出的概率分別為1/5, 1/3, 1/4, 問能將此密碼譯出的概率是多少? 解: 設(shè)A,B,C為各個(gè)人譯出密碼, 則A,B,C相互獨(dú)立, 且有 P(A)=1/5, P(B)=1/3, P(C)=1/4,

20、因此, 將密碼譯出的概率為 29. 電燈泡使用壽命在1000小時(shí)以上的概率為0.2, 求3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)后, 最多只有一個(gè)壞了的概率. 解: 在此貝努里試驗(yàn)概型中, 設(shè)事件A為燈泡損壞, 則事件A發(fā)生的概率p=1-0.2=0.8, 試驗(yàn)次數(shù)n=3, 設(shè)事件B為最多只有一個(gè)壞, 因此 30. 某機(jī)構(gòu)有一個(gè)9人組成的顧問小組, 若每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見的百分比是0.7, 現(xiàn)在該機(jī)構(gòu)對(duì)某事可行與否個(gè)別征求各位顧問意見, 并按多數(shù)人意見作出決策, 求作出正確決策的概率. 解: 在此貝努里試驗(yàn)概型中, 設(shè)事件A為顧問貢獻(xiàn)正確意見, 試驗(yàn)次數(shù)n=9, 事件B為作出正確決策, 則

21、 ? 31. 現(xiàn)有外包裝完全相同的優(yōu),良,中3個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品, 其數(shù)量完全相同, 每次取1件, 有放回地連續(xù)取3次, 計(jì)算下列各事件的概率: A="3件都是優(yōu)質(zhì)品"; B="3件都是同一等級(jí)"; C="3件等級(jí)全不相同"; D="3件等級(jí)不全相同"; E="3件中無優(yōu)質(zhì)品", F="3件中既無優(yōu)質(zhì)品也無中級(jí)品"; G="無優(yōu)質(zhì)品或無中級(jí)品". 解: 每次取一件的試驗(yàn), 每次試驗(yàn)的三種可能事件A1,A2,A3分別代表取到優(yōu),良,中3個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品. 這三個(gè)事件相互獨(dú)立, 每個(gè)事件發(fā)生概率一樣, 即都是1/3. (1) 3件都是優(yōu)質(zhì)品的事件的概率為 (2) 而3件都是同一等級(jí)由三個(gè)事件"

22、三個(gè)都是優(yōu)質(zhì)品", "三個(gè)都是良", "三個(gè)都是中"三個(gè)互不相容事件的并構(gòu)成, 由于對(duì)稱性它們都等于A發(fā)生的概率, 因此 (3) 3件等級(jí)全不相同, 則共有P3種具有相同概率的互不相容事件的并構(gòu)成, 因此有 (4) 事件D即(3件等級(jí)不全相同)是事件B(3件都是同一等級(jí))的逆, 因此有 (5) 三件中無優(yōu)質(zhì)品的事件E的概率為 (6) 事件F實(shí)際上是"3件均為劣質(zhì)品", 則 (7) 事件G(無優(yōu)質(zhì)品或無中級(jí)品)為事件G1="無優(yōu)質(zhì)品", G2="無中級(jí)品"二事件之和, 但這兩個(gè)事件為相容事件. 因此 32．某店內(nèi)有4名售貨員，據(jù)經(jīng)驗(yàn)每名售貨員平均一小時(shí)內(nèi)只用秤15分鐘，問該店配置幾臺(tái)秤較為合理? 解: 每時(shí)刻的用秤情況構(gòu)成一貝努里試驗(yàn)概型, A為一個(gè)售貨員要用秤的事件, 其概率為p=1/4=0.25, 四個(gè)售貨員代表試驗(yàn)四次, 設(shè)Bi為至多要用i臺(tái)秤, i=0,1,2,3,4, 則 可以看出用2臺(tái)秤就可以保證以近95%的概率用秤情況不會(huì)沖突, 因此配置二臺(tái)秤較為合理.