2016屆高三數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化：第8章 第4節(jié)橢　圓

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1、第八章　第四節(jié) 一、選擇題 1．(文)(2014·長春模擬)橢圓x2＋4y2＝1的離心率為(　　) A．　　　　　　　　 B． C．　 D． [答案]　A [解析]　先將x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＋＝1， 則a＝1，b＝，c＝＝.離心率e＝＝. (理)若P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，且·＝0，tan∠PF1F2＝，則此橢圓的離心率為(　　) A．　　　　　　　 B． C．　 D． [答案]　A [解析]　在Rt△PF1F2中，不妨設(shè)|PF2|＝1，則|PF1|＝2.|F1F2|＝，∴e＝＝. 2．(文)橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別

2、為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為(　　) A．32　　 B．16　　 C．8　　　 D．4 [答案]　B [解析]　由題設(shè)條件知△ABF2的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16. (理)(2013·浙江紹興一模)橢圓＋＝1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．8　　　 D． [答案]　B [解析]　連接MF2.已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－|MF1|＝8. 如圖，|ON|＝|MF2|＝4.故選B．

3、 3．(文)(2014·佛山月考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(　　) A．1　 B．　 C．2　 D． [答案]　D [解析]　由題意知，c2＝a2－b2＝4－1＝3，點(diǎn)P即為圓x2＋y2＝3與橢圓＋y2＝1在第一象限的交點(diǎn)，解方程組得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為. (理)F1、F2是橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，過一焦點(diǎn)引∠F1PF2的外角平分線的垂線，則垂足Q的軌跡為(　　) A．圓　 B．橢圓　 C．雙曲線　 D．拋物線 [答案]　A [解析]　∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥

4、AF1， ∴Q為AF1的中點(diǎn)，且|PF1|＝|PA|， ∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a， ∴Q點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓． 4．(2014·豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上一點(diǎn)，若△F1F2P為等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為(　　) A．　 B．－1 C．－1或　 D． [答案]　C [解析]　當(dāng)∠F1PF2為直角時(shí)，P為橢圓短軸端點(diǎn)，∴b＝c，∴＝，∴e＝；當(dāng)∠F1F2P或∠F2F1P為直角時(shí)，＝2c，∴b2＝2ac，∴a2－c2＝2ac，∴e2＋2e－1＝0， ∴e＝－1. 5．(文)(

5、2013·煙臺(tái)質(zhì)檢)一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為(　　) A．＋＝1　 B．＋＝1 C．＋＝1　 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．由點(diǎn)(2，)在橢圓上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6. (理)(2013·新課標(biāo)Ⅰ理，10)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)

6、．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　　) A．＋＝1　 B．＋＝1 C．＋＝1　 D．＋＝1 [答案]　D [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵A、B在橢圓上， ∴兩式相減得，＝， 即＝， ∵AB的中點(diǎn)為(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， ∴k＝＝， 又∵k＝＝，∴＝， 又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，∴b2＝9，a2＝18， ∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，故選D． 6．(2014·豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)是橢圓＋＝1(a>b>0)兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，∠F1PF2＝α

7、，且當(dāng)α＝時(shí)，△F1PF2的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．＋＝1　 B．＋＝1 C．＋＝1　 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　∵|F1F2|為定值，∴當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，S△F1PF2最大， ∵∠F1PF2＝，∴∠PF1F2＝，∴tan＝， ∵c＝3，∴b＝， ∴a2＝b2＋c2＝12，橢圓方程為＋＝1. 二、填空題 7．(2013·池州二模)已知點(diǎn)M(，0)，橢圓＋y2＝1與直線y＝k(x＋)交于點(diǎn)A、B，則△ABM的周長為________． [答案]　8 [解析]　M(，0)與F(－，0)是橢圓的焦點(diǎn)，則直線AB過橢圓左焦點(diǎn)F(－，0)，且|AB|＝|A

8、F|＋|BF|，△ABM的周長等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8. 8．已知橢圓M：＋＝1(a>0，b>0)的面積為πab，M包含于平面區(qū)域Ω：內(nèi)，向Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q落在橢圓M內(nèi)的概率為，則橢圓M的方程為________． [答案]?。? [解析]　平面區(qū)域Ω： 是一個(gè)矩形區(qū)域，如圖所示， 依題意及幾何概型，可得＝，即ab＝2. 因?yàn)?b1>0)和橢圓C2：＋＝1(a2>b2>0)的焦點(diǎn)

9、相同且a1>a2.給出以下四個(gè)結(jié)論： ①橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點(diǎn)；②>； ③a－a＝b－b；④a1－a2a2，故b1>b2，因此兩橢圓必?zé)o公共點(diǎn)，即命題①為真命題；又由于兩橢圓焦點(diǎn)相同，a1>a2，ab＝a(a－c2)

10、，綜上①③④為真命題． 三、解答題 10．(文)橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，且橢圓過點(diǎn)M(1，－)． (1)求橢圓方程； (2)過點(diǎn)N(－，0)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，試判斷∠PAQ的大小是否為定值，并說明理由． [解析]　(1)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，由題意c＝，且橢圓過點(diǎn)M(1，－)， ∴?∴橢圓方程為＋y2＝1. (2)設(shè)直線PQ：x＝ty－， 由消去x得，(t2＋4)y2－ty－＝0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∴y1y2＝－，y1＋y2＝， 又A(－2,0)， ∴·＝(x1

11、＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋)(ty2＋)＋y1y2 ＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋＝0， ∴∠PAQ＝(定值)． (理)(2014·安徽合肥三校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圓心C． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切，求直線l的方程． [解析]　(1)圓C方程化為(x－2)2＋(y＋)2＝6， 圓心C(2，－)，半徑r＝. 設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，則 所以 所以所求橢圓的方程是＋＝1. (2)由(

12、1)得橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， ∵|F2C|＝＝<. ∴F2在圓C內(nèi)，故過F2沒有圓C的切線． 設(shè)l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0， 點(diǎn)C(2，－)到直線l的距離為d＝＝， 化簡得5k2＋4k－2＝0，解得k＝或k＝－. 故l的方程為x－5＋2＝0或x＋y＋2＝0. 一、選擇題 11．(2013·荊州市質(zhì)檢)若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)的距離為(　　) A．　 B．　 C．2　 D． [答案]　A [解析

13、]　因?yàn)閑＝＝，所以a＝2c，由a2＝b2＋c2，得＝，x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝，點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)(0,0)的距離d＝＝＝. 12．(文)(2014·陜西西工大附中適應(yīng)性訓(xùn)練)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連線AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則橢圓C的離心率e為(　　) A．　 B．　 C．　 D． [答案]　A [解析]　在△ABF中，由|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，得|BF|＝8，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，由對(duì)稱性知，|AE|＝8，且△AEF為直角三角形，|EF|＝10，∴

14、2a＝|AF|＋|AE|＝14.∴e＝＝＝. (理)(2014·包頭三十三中期末)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為(　　) A．(0，－1)　 B．(，1) C．(0，)　 D．(－1,1) [答案]　D [解析]　根據(jù)正弦定理得＝，所以由＝可得＝，即＝＝e，所以|PF1|＝e|PF2|.又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e＋1)＝2a，即|PF2|＝.因?yàn)閍－c<|PF2|

15、c，即1－<<1＋，所以1－e<<1＋e，即所以解得e>－1.又因?yàn)閑<1，所以－1

16、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓C與F1A的延長線、F1F2的延長線以及線段AF2相切，若M(t,0)為一個(gè)切點(diǎn)，則(　　) A．t＝2 B．t>2 C．t<2 D．t與2的大小關(guān)系不確定 [答案]　A [解析]　如圖， P，Q分別是圓C與F1A的延長線、線段AF2相切的切點(diǎn)，|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a，所以t＝a＝2.故選A． (理)設(shè)F是橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)，且橢圓上有2016個(gè)不同的點(diǎn)Pi(xi，yi)(i＝1,2,3，…，2016)，且線段|FP1|，|FP2|，|FP3|，…

17、，|FP2016|的長度成等差數(shù)列，若|FP1|＝2，|FP2016|＝8，則點(diǎn)P2015的橫坐標(biāo)為(　　) A．　 B．　 C．　 D． [答案]　C [解析]　∵橢圓＋＝1，∴F(－3,0)，由|FP1|＝2＝a－c，|FP2016|＝8＝a＋c，可知點(diǎn)P1為橢圓的左頂點(diǎn)，P2016為橢圓的右頂點(diǎn)，即x1＝－5，x2016＝5＝－5＋2015d，∴d＝，則數(shù)列{xi}是以－5為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴x2015＝－5＋2014×＝. 二、填空題 15．(文)如果AB是橢圓＋＝1的任意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點(diǎn)，則kAB·kOM的

18、值為________． [答案]　e2－1 [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)M(x0，y0)， 由點(diǎn)差法，＋＝1，＋＝1， 作差得＝， ∴kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1. (理)以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心的圓恰好過橢圓的中心，交橢圓于點(diǎn)M、N，橢圓的左焦點(diǎn)為F1，且直線MF1與此圓相切，則橢圓的離心率e等于________． [答案]?。? [解析]　由題意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c， 又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c， 由橢圓的定義，|MF1|＋|MF2|＝2a， ∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1. 16．(2013·蘇北

19、四市聯(lián)考)已知兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)，若直線上存在點(diǎn)P，使|PM|＋|PN|＝4，則該直線為“A型直線”．給出下列直線，其中是“A型直線”的是________(填序號(hào))． ①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3. [答案]?、佗? [解析]　由題意可知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程是＋＝1， ①把y＝x＋1代入＋＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0， ∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)， ∴y＝x＋1是“A型直線”． ②把y＝2代入＋＝1，得＝－不成立，直線與橢圓無交點(diǎn)，∴y＝2不是“A型直線”． ③把y＝－x＋3代入＋

20、＝1并整理得，7x2－24x＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y＝－x＋3不是“A型直線”． ④把y＝－2x＋3代入＋＝1并整理得，19x2－48x＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y＝－2x＋3是“A型直線”． 三、解答題 17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－1,0)，且點(diǎn)P(0,1)在C1上． (1)求橢圓C1的方程； (2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程． [解析]　(1)因?yàn)闄E圓C1的左焦點(diǎn)為F1(－1,0)， 所以c＝1， 將點(diǎn)P(0,1)代入橢圓方

21、程＋＝1，得＝1， 即b2＝1，所以a2＝b2＋c2＝2， 所以橢圓C1的方程為＋y2＝1. (2)直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m， 由消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 因?yàn)橹本€l與橢圓C1相切， 所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0 整理得2k2－m2＋1＝0，① 由消去y并整理得， k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0， 因?yàn)橹本€l與拋物線C2相切， 所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0， 整理得km＝1，② 綜合①②，解得或 所以直線l的方程為y＝x＋或y＝－x－. 18．(文)(

22、2014·安徽“江南十?！甭?lián)考)已知橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形且面積為. (1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l：x＝my＋q(m≠0)與橢圓Γ交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于橢圓長軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1，試求A1，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線的充要條件． [解析]　(1)設(shè)橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1(a>b>0)． 由題意知a＝2c，bc＝，所以a＝2，b＝， 橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1. (2)聯(lián)立?(3m2＋4)y2＋6mqy＋(3q2－12)＝0， 由Δ＝12[3m2q2－(3m2＋4)(q2－4)]＝48(3m2＋4－q2)>0，得3m

23、2＋4－q2>0.① 記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A1(x1，－y1)，y1＋y2＝，y1y2＝， 因?yàn)镕(1,0)，所以＝(x1－1，－y1)，＝(x2－1，y2)， 故A1，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，∴∥， ∴(x1－1)y2－(x2－1)(－y1) ＝(my1＋q－1)y2＋(my2＋q－1)y1 ＝2my1y2＋(q－1)(y1＋y2) ＝2m·＋(q－1)· ＝＝0?q＝4(m≠0)，② 由①②知A1，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線的充要條件是|m|>2，且q＝4. (理)(2014·新課標(biāo)全國Ⅰ理)已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦

24、點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求E的方程； (2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程． [分析]　(1)由過A(0，－2)，F(xiàn)(c,0)的直線AF的斜率為或過兩點(diǎn)的直線斜率公式可求c，再由e＝＝，可求a，由b2＝a2－c2可求出b2，則橢圓E的方程可求． (2)由題意知?jiǎng)又本€l的斜率存在，故可設(shè)其斜率為k，寫出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理成關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求出弦PQ的長|PQ|，利用點(diǎn)到直線的公式求出點(diǎn)O到直線PQ的距離d，則由S△OPQ＝|PQ|·d，可將S△OPQ表示成關(guān)于k的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(

25、k)的最大值問題．注意k應(yīng)使得一元二次方程的判別式大于0. [解析]　(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 將y＝kx－2代入＋y2＝1中消去y得， (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0， 即k2>時(shí)，x1,2＝， 從而|PQ|＝|x1－x2| ＝. 又點(diǎn)O到直線PQ的距離d＝，所以△OPQ的面積S△OPQ＝d·|PQ|＝. 設(shè)＝t，則t>0，S△OPQ＝＝. 因?yàn)閠＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝±時(shí)等號(hào)成立，且滿足Δ>0. 所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為 y＝x－2或y＝－x－2.